065 1654年 帕斯卡尔三角形

帕斯卡尔（Blaise Pascal,1623—1662）奥玛·海亚姆（Omar Khayyam,1048—1131）

上图—哈特（George W. Hart）利用俗称选择性激光烧结的物理制作过程，创造出这个尼龙做成的帕斯卡尔三角形。下图—在条目解说中提到的帕斯卡尔三角分形。在中轴红色三角形区域内的每一个数字不但都是偶数，而且都还是完美数（数字本身可由其真因子加总而得），例如 6,28,120,496,2 016……

奥玛·海亚姆的《代数问题的论著》（1070年），常态分布曲线（1733年）及分形（1975年）

帕斯卡尔三角形是数学史上最著名的整数模式之一，在1654 年以专论深入探讨这个整数级数的帕斯卡尔则是数学史上第一人；虽然波斯诗人暨数学家奥玛·海亚姆早在 1100 年左右就已经知道这个模式的存在，甚至更早的古印度及中国数学家也是如此。帕斯卡尔三角形的前七列数字如图所列。

帕斯卡尔三角形中的每一个数字都是其上方两个数字之和，许多年来数学家在讨论概率论、（x+y）n形式的二项展开式，以及许多数论不同应用领域时，都无法忽视帕斯卡尔三角形所扮演的角色。高德纳（Donald Knuth，生于1938 年）曾说过，由于帕斯卡尔三角形中的数字充满太多衍生关系及组合模式，以致当某些人找出一种全新特性时，除了发现者本人以外，并没有太多人会因此兴奋不已。尽管如此，研究迷人的帕斯卡尔三角形还是可以找出各种数不清的奇妙之处，像是对角线的几何模式、带有各种六边形数性质的完美正方形模式之存在，或是把三角形及其模式往负数或更高维度的方向延伸。

如果把三角形内的偶数用点表示、单数用空格取代的话，结果将成为一个极为复杂，以不同大小重复出现相同模式的分形图案。分形图案在实务运用上的重要性，在于提供一种模型，让材料科学的科学家借以开发具有新颖特性的新结构，例如有些研究人员在 1986 年，开发出一种微米等级的金属丝密封垫，外观几乎跟奇数位置留空的帕斯卡尔三角形一样。这个密封垫最小的三角形区域面积只有 1.38平方微米，科学家们还观测到这个密封垫在磁场中具有不平常的超导体特性。■