第五节 恒定流的动量方程

联合应用恒定总流的连续性方程和能量方程，可以解决许多水力学问题。但是，由于它们没有反映水流与边界作用力之间的关系，因此不能求解水流对边界的作用力问题。例如，水流对弯管的作用力、水流对平板闸门的推力，以及明渠中水跃的计算等问题都无法用连续性方程和能量方程求解。而恒定总流的动量方程恰好弥补了上述不足。

连续性方程、能量方程及动量方程又统称为水力学三大基本方程。

一、理论依据

物理中的动量定理。

动量定理可表述为：运动物体单位时间内动量的变化等于物体所受所有外力的合力。若以m表示物体的质量，以v表示物体运动的速度，以∑F表示作用于物体上所有外力的合力，动量定理可写为

下面介绍依据动量定理建立的恒定流的动量方程。

二、恒定流动量方程的基本形式

在恒定流中，任取一渐变流流段1—2。设1—1断面及2—2断面的面积分别为A₁及A₂，断面平均流速为v₁和v₂。经过Δt时段后，液体由断面1—2运动到1′—2′，两断面间没有汇流或分流，如图2-19所示。

根据动量定理经推导得到恒定流的动量方程为

式中 β₁，β₂——动量修正系数，对于渐变流或均匀流断面，一般取β=1.02~1.05，近似计算时取β=1.0；

——作用在所取流段上的所有外力的合力 （矢量和）。

恒定流的动量方程式（2-29）是一个矢量方程，为了计算方便，可转换成直角坐标系下x、y方向的代数方程：

式中 ρ——水体的密度；

v_1x，v_1y，v_2x，v_2y——v₁、v₂在x、y两个坐标轴方向的投影分量；

∑F_x，∑F_y——作用在脱离体上所有外力在x、y两个坐标轴方向投影的代数和。

三、动量方程的应用步骤

动量方程应用的具体步骤如下：

（1）取脱离体。选取研究水流中两个渐变流断面1—1、2—2间的水体为脱离体。

（2）建立直角坐标系xoy。根据研究水体的受力及流速方向建立直角坐标系。

（3）受力分析。对所取脱离体进行受力分析，并标注力的方向，同时将各个力按照坐标轴方向进行分解，标出分力的方向，水流速度也为矢量，也需要按照力的分解进行分解。

（4）列方程求解。根据问题列x、y方向的方程进行求解。一般力、速度与坐标轴方向一致取“+”号，相反取“-”号。

另外，在应用时还要注意以下几点：

（1）脱离体一般是取实际水流的一段“水体”来研究，过水断面应选在均匀流或渐变流区域。

（2）坐标轴可任意选取，但应以计算简便为宜。

（3）全面分析脱离体的受力情况。对于待求的未知力，可先假定一个方向。若求得该力为正值，表明假定方向正确。否则，该力的实际方向与假定方向相反。为便于计算，应在脱离体上标出所有作用力的方向。

（4）计算动量改变量时，一定是流出的动量减去流入的动量，两者切不可颠倒。

（5）动量方程只能求解一个未知量。当有两个以上未知量时，要配合连续性方程和能量方程联合求解。

（6）计算时，一般取β₁=β₂=1.0。

（7）计算时需要注意单位换算，方程左边力的单位常用kN,而方程右边的计算单位为N，两边统一单位，就需要给右边乘以10^-3。因为

1000kg/m³×1m³/s×1m/s=1000kg·m/s²=1000N=1kN

四、动量方程应用举例

下面举例说明动量方程的应用。

1.水流对弯管的作用力

【例2-4】 某有压管道中有一渐缩弯管，如图2-20所示。弯管的轴线位于水平面内，转角θ=60°。已知断面1—1形心点的压强p₁=196kN/m²，管径d₁=300mm，管径d₂=250mm，管中流量Q=150L/s。若不计弯管的水头损失，求水流对弯管的作用力。

首先，由连续性方程计算1—1、2—2断面的平均流速。

由连续性方程Q=v₁A₁=v₂A₂，得

其次，由能量方程计算2—2断面中心点的压强。

取过水断面1—1和2—2，以管轴线所在的水平面为基准面，列1—1和2—2断面的能量方程（取α₁=α₂=1.0），不计水头损失有

所以

故2—2断面形心的压强

则1—1断面上的动水压力为P₁=p₁A₁=196××0.3²=13.85（kN）。

2—2断面上的动水压力为P₂=p₂A₂=191.10××0.25²=9.38（kN）。

最后，由动量方程计算水流对弯管的作用力。

（1）取1—1、2—2两个渐变流断面间的水体为脱离体，如图2-20（b）所示。

（2）建立直角坐标系xoy，如图2-20（b）所示。

（3）对脱离体进行受力分析。作用力分别如下：

1—1断面的动水压力P₁(与x轴同方向，无y方向的分力，即P₁= P_1x)；

2—2断面的动水压力P₂（可以分解为x方向的分力P_2x和y方向的分力P_2y，二者均与x、y轴方向相反）；

弯管管壁对脱离体的约束力R［可以分解为x方向的分力R_x和y方向的分力R_y，方向假设如图2-20（b）所示］。

需要说明的是此问题不考虑脱离体的重力，因为其方向垂直指向地面，与x、y方向无关。

（4）列x方向的动量方程，有

P₁-P_2x-R_x=ρQ(β₂ v_2x-β₁ v_1x)

取β₁=β₂=1.0；由P_2x=P₂ cosθ，v_2x=v₂ cosθ，v_1x=v₁ 代入得

R_x=P₁-P₂cosθ-ρQ(v₂cosθ-v₁)

=13.85-9.38×cos60°-1000×0.15×(3.06×cos60°-2.12)×10^-3=9.25(kN)

（5）列y方向的动量方程，有

-P_2y+R_y=ρQ(β₂v_2y-β₁v_1y)

取β₁=β₂=1.0，由P_2y=P₂ sinθ，v_2y=v₂ sinθ，v_1y=0代入得

R_y=P₂sinθ+ρQv₂sinθ

=9.38×sin60°+1000×0.15×3.06×sin60°×10^-3=8.52(kN)

R_x、R_y的计算结果均为正值，说明管壁对脱离体的作用力的实际方向与假定方向相同。

（6）合力的大小为

合力与x轴的夹角为

水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。F直接作用在弯管上，对弯管有冲击破坏作用，所以应在弯管段设置混凝土镇墩来抵抗这种冲击力。

2.水流对平板闸门的推力

【例2-5】 在某平底矩形断面棱柱体渠道中修建水闸，闸门与渠道同宽，如图2-21（a）所示。已知闸门宽度b=6m，闸前水深H=5m，闸后收缩水深h_c=0.6m，水闸泄流量Q=36m³/s。若不计水头损失，求过闸水流对平板闸门的推力。

（1）取渐变流断面1—1及c—c之间的水体为脱离体，如图2-21（b）所示。需要说明的是，一般认为闸门后的收缩断面c—c为渐变流断面。

根据连续性方程Q=v₁A₁=v₂A₂，可得

（2）建立坐标系。由于水流对平板闸门的推力只在水平方向上，故坐标系只需取一个x方向即可，其方向与水流方向一致，如图2-21（b）所示。

（3）受力分析。脱离体上所受的作用力有1—1、c—c 断面的动水压力P₁、P_c，方向如图所示，闸门对脱离体的约束力R，方向与水流反向。脱离体的重力G方向向下，在x方向无分力。另外，两个断面的流速与x轴同向。

（4）列方程求解。只需要列x方向的动量方程即可。

取β₁=β₂=1.0，列沿流向的动量方程，有

P₁-P_c-R=ρQ(v_c-v₁)

则

R=P₁-P_c-ρQ(v_c-v₁)

渐变流1—1断面的动水压力按照矩形平面的静水压力计算：

渐变流c—c断面的动水压力也按矩形平面静水压力计算：

所以

R=735-10.58-1×36×(10-1.2)=407.62(kN)

因求得的结果为正值，说明假定的方向就是实际方向。所以水流对平板闸门的推力R′=R=407.62kN，方向与R相反。