1.1.4　期望、方差、标准差、协方差

期望：试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。对于离散型变量和连续型变量而言，其求解期望的方式如下所示。

离散型：P{X=x_i}=p_i，E(X)=

连续型：

期望代表了概率加权下随机变量的平均值。平均值的计算公式如，如求1～10数字的均值，计算过程为：。期望除了表示均值外，还反映随机变量平均取值的大小。

比如掷骰子，骰子有6个面，分别是（1，2，3，4，5，6），掷10000次骰子，假设骰子被掷到每个面的概率是均匀的，那么按照上面的计算方法，投掷10000次后的均值是3.5。如果所掷骰子的概率不服从均匀分布，均值的计算过程同离散型变量求期望的方法。

方差：D(X)=E[X–E(X)]²=E(X²)–[E(X)]²

一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该随机变量在其期望值附近的波动程度。方差是针对预测数据的，预测数据的离散程度越大，方差越大。方差示意图如图1-4所示。

图1-4　方差示意图

标准差：

从本质上讲，方差和标准差具有相同物理意义，只是计算方式略有不同。

协方差：Cov(X，Y)=E[(X–E(X)(Y–E(Y))]

协方差是两个随机变量变化趋势的度量。若Cov(X，Y)>0，X、Y的变化趋势相同；若Cov(X，Y)<0，X、Y的变化趋势相反；若Cov(X，Y)=0，X、Y不相关。

如图1-5所示，图1-5a中第1、3象限的协方差变化趋势相同，图1-5b中第2、4象限的协方差变化趋势相反。

图1-5　协方差示意图