1.1.3 基础的概率分布
很多基础的概率分布在机器学习和深度学习领域很有用，这些概率分布也是其他复杂分布的基础。下面我们学习几种基础的概率分布。
1）0-1分布：P(X=k)=pk(1–p)1–k，k=0，1
其中，p为k=1时的概率（0<p<1）。假设一个试验事件发生的概率为p，不发生的概率为1–p，任何一个只有两种结果的随机事件都服从0-1分布。
2）二项分布B(n，p)：P(X=k)=
，k=0，1，…，n
其中，
是二项式系数。该公式可以理解为，在n次试验中有k次成功（成功的概率为p）和n–k次失败（失败的概率为1–p），并且k次成功可以在n次试验的任何次试验中出现，则k次成功分布在n次试验中共有
种不同的排列组合。
0-1分布是二项分布的特例。
例3：二项分布代码，如下所示。
1. import numpy as np
2. from scipy import stats
3. import matplotlib.pyplot as plt
4. #####################
5. #二项分布
6. #####################
7. def binom_pmf_test():
8. '''''
9. 为离散分布
10. 二项分布的例子：抛掷100次硬币，恰好两次正面朝上的概率是多少？
11. '''
12. n = 100#独立试验次数
13. p = 0.5#每次正面朝上概率
14. k = np.arange(0,100)#0-100次正面朝上概率
15. binomial = stats.binom.pmf(k,n,p)
16. print( binomial)#概率和为1
17. print(sum(binomial))
18. print( binomial[2])
19. plt.plot(k, binomial,'o-')
20. plt.title('Binomial: n=%i , p=%.2f' % (n,p),fontsize=15)
21. plt.xlabel('Number of successes')
22. plt.ylabel('Probability of success',fontsize=15)
23. plt.show()
二项分布示意图如图1-2所示。
二项分布不断叠加后会产生一个重要的分布，就是正态分布。
3）正态分布N(μ，σ2)：
，σ>0；–∞<x<+∞
例4：正态分布代码，如下所示。
1.def normal_distribution():
2. '''''
3. 正态分布是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值
4. 正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2
5. '''
6. mu = 0 # mean
7. sigma = 1 # standard deviation
8. x = np.arange(-10, 10, 0.1)
9. y = stats.norm.pdf(x, 0, 1)
10. print(y)
11. plt.plot(x, y)
12. plt.title('Normal: $\mu$=%.1f, $\sigma^2$=%.1f' % (mu, sigma))
13. plt.xlabel('x')
14. plt.ylabel('Probability density', fontsize=15)
15. plt.show()
图1-2 二项分布示意图
正态分布示意图如图1-3所示。
图1-3 正态分布示意图
4）泊松分布p(λ)：P(X=k)=
，λ>0；k=0，1，2…，n
λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，因此该分布适合描述单位时间内随机事件发生的次数。若随机变量X取0和一切正整数，在n次独立试验中出现的次数x恰为k次的概率为P(X=k)(k=0，1，...，n)，式中λ是一个大于0的参数，此概率分布称为泊松分布。它的期望值E(x)=λ，方差D(x)=λ。当n很大，且在一次试验中出现的概率P很小时，泊松分布近似二项分布。
5）均匀分布U(a，b)：
均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，在边界a和b处的f(x)的值通常是不重要的。
6）正态分布N(μ，σ2)：
，σ>0；–∞<x<+∞
若随机变量X服从数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，可记作N(μ，σ2)。当μ=0，σ=1时，正态分布是标准正态分布。
7）指数分布E(λ)：
其中，λ>0，常被称为频率参数，即单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0，∞)。如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作X~Exponential(λ)。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、软件更新的时间间隔等。它是可靠性研究中最常用的一种分布形式。
8）几何分布G(p)：P(X=k)=(1–p)k–1p，0<p<1，k=1，2，…
在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的概率，即前k–1次皆失败，第k次成功的概率。在伯努利试验中，成功的概率为p，x表示出现首次成功前的试验次数，x是离散型随机变量，只取正整数。
9）超几何分布H(N，M，n)：
，k=0，1，…，min(n，M)
描述了从有限的N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类物件的次数（不放回）。