3.5 正弦交流电路中的功率及功率因数的提高

3.5.1 有功功率、无功功率、视在功率和功率因数

设有一个二端网络，取电压、电流参考方向如图3-28所示，网络在任一瞬间时吸收的功率即瞬时功率为p（t）=u（t）i（t）设：和，其中φ为电压与电流的相位差。

其波形图如图3-29所示。

图3-28 二端网络

图3-29 瞬时功率波形图

瞬时功率有时为正值，有时为负值，表示网络有时从外部接受能量，有时向外部发出能量。如果所考虑的二端网络内不含有独立源，这种能量交换的现象就是网络内储能元件所引起的。二端网络所吸收的平均功率P为瞬时功率p（t）在一个周期内的平均值，

将式（3-36）代入上式得：

可见，正弦交流电路的有功功率等于电压、电流的有效值和电压、电流相位差角余弦的乘积。

cosφ称为二端网络的功率因数，用λ表示，即λ=cosφ，φ称为功率因数角。在二端网络为纯电阻情况下，φ=0°，功率因数cosφ=1，网络吸收的有功功率P_R=UI；当二端网络为纯电抗情况下，φ=±90°，功率因数cosφ=0，则网络吸收的有功功率P_X=0，这与前面3.3节的结果完全一致。

在一般情况下，二端网络的Z=R+jX，，cosφ≠0，即P=UIcosφ。

二端网络两端的电压U和电流I的乘积UI也是功率的量纲，因此把乘积UI称为该网络的视在功率，用符号S来表示。

即 S=UI （3-38）

为与有功功率区别，视在功率的单位用伏安（VA）。视在功率也称容量，例如一台变压器的容量为4000kVA，而此变压器能输出多少有功功率，要视负载的功率因数而定。在正弦交流电路中，除了有功功率和视在功率外，无功功率也是一个重要的量。

即 Q=U_XI

而 U_X=Usinφ

所以无功功率为 Q=UIsinφ （3-39）

当φ=0°时，二端网络为一等效电阻，电阻总是从电源获得能量，没有能量的交换；

当φ≠0°时，说明二端网络中必有储能元件，因此二端网络与电源间有能量的交换。对于感性负载，电压超前电流，φ>0°，Q>0；对于容性负载，电压滞后电流，φ<0°，Q<0。

3.5.2 功率因数的提高

电源的额定输出功率为P_N=S_Ncosφ，它除了决定于本身容量（即额定视在功率）外，还与负载功率因数有关。若负载功率因数低，电源输出功率将减小，这显然是不利的。因此为了充分利用电源设备的容量，应该设法提高负载网络的功率因数。

另外，若负载功率因数低，电源在供给有功功率的同时，还要提供足够的无功功率，致使供电线路电流增大，从而造成线路上能耗增大。可见，提高功率因数有很大的经济意义。

功率因数不高的原因，主要是由于大量电感性负载的存在。工厂生产中广泛使用的三相异步电动机就相当于电感性负载。为了提高功率因数，可以从两个基本方面来着手：一方面是改进用电设备的功率因数，但这主要涉及更换或改进设备；另一方面是在感性负载的两端并联适当大小的电容器。

下面分析利用并联电容器来提高功率因数的方法。

图3-30 电路图

a）电路图 b）相量图

原负载为感性负载，其功率因数为cosφ，电流为，在其两端并联电容器为C，电路如图3-30所示。并联电容以后，并不影响原负载的工作状态。从相量图可知，由于电容电流补偿了负载中的无功电流。使总电流减小，电路的总功率因数提高了。

设有一感性负载的端电压为U，功率为P，功率因数cosφ₁，为了使功率因数提高到cosφ，可推导所需并联电容C的计算公式为

流过电容的电流为

又因

所以

【例3.10】两个负载并联，接到220V、50Hz的电源上。一个负载的功率P₁=2.8kW，功率因数cosφ₁=0.8（感性），另一个负载的功率P₂=2.42kW，功率因数cosφ₂=0.5（感性）。试求：

（1）电路的总电流和总功率因数；（2）电路消耗的总功率；（3）要使电路的功率因数提高到0.92，需并联多大的电容？此时，电路的总电流为多少？（4）再把电路的功率因数从0.92提高到1，需并联多大的电容？

解：（1）cosφ₁=0.8 φ₁=36.9°

(2)

cosφ₂=0.5 φ₂=60°

设电源电压为

则

(3)

(4)

由上例计算可以看出，将功率因数从0.92提高到1，仅提高了0.08，补偿电容需要144.8μF，将增大设备的投资。

在实际生产中并不要把功率因数提高到1，因为这样做需要并联的电容较大，功率因数提高到什么程度为宜，只能在作具体的技术经济比较之后才能决定。通常只将功率因数提高到0.9～0.95即可。

3.5.3 正弦交流电路负载获得最大功率的条件

图3-31 正弦交流电路

在图3-31所示电路中，U_S为信号源的电压相量，Z_i=R_i+jX_i为信号源的内阻抗，Z=R+jX为负载阻抗。

负载中的电流为

于是，电流的有效值

负载吸取的平均功率为

如果负载的电抗X和电阻R均可调，则首先选择负载电抗X=-X_i

使功率

其次是确定R值，将P对R求导数为

令

解得：R=R_i

因而负载能获得最大功率的条件为

X=-X_iR=R_i

即Z=Z_i （3-42）

当上式成立时，我们也称负载阻抗与电源阻抗匹配。

负载所得最大功率为

在阻抗匹配电路中，负载得到的最大功率仅是电源输出功率的一半。即阻抗匹配电路的传输效率为50%，所以阻抗匹配电路只能用于一些小功率电路，而对于电力系统来说，首要的问题是效率，则不能考虑匹配。