3.3 电阻、电感、电容元件的正弦交流电路

电阻R、电感L、电容C是交流电路中的基本电路元件。本节着重研究三种元件上的电压与电流关系，能量的转换及功率问题。

3.3.1 电阻元件

1.电阻元件上电压与电流的关系

当电阻两端加上正弦交流电压时，电阻中就有交流电流通过，电压与电流的瞬时值仍然遵循欧姆定律。在图3-10中，电压与电流为关联参考方向，则电阻上的电流为

式（3-9）是交流电路中电阻元件的电压与电流的基本关系。

如加在电阻两端的是正弦交流电压：

u_R=U_Rmsin（ωt+φ_u）

图3-10 电阻元件

则电路中的电流为

式中写成有效值关系为或 （3-11）

从以上分析可知：

（1）电阻两端的电压与电流同频率、同相位；

（2）电阻两端的电压与电流的数值上成正比。

其波形图如3-11所示（设φ_i=0）。

电阻元件上电压与电流的相量关系为

则 U·_R=RI·_R （3-12）

式（3-12）就是电阻元件上电压与电流的相量关系，也就是相量形式的欧姆定律。

图3-12给出了电阻元件的相量模型及相量图。

图3-11 电阻元件的电压、电流波形图

图3-12 电阻元件的相量模型及相量图

a）相量模型 b）相量图

2.电阻元件的功率

在交流电路中，任意电路元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称作该元件的瞬时功率。用小写字母p表示。

当u_R、i_R为关联参考方向时，

p=u_Ri_R （3-13）

若电阻两端的电压、电流为（设初相角为0°）

u_R=U_Rmsinωt

i_R=I_Rmsinωt

则正弦交流电路中电阻元件上的瞬时功率为

图3-13 电阻元件的功率波形

p=u_Ri_R=U_RmsinωtI_Rmsinωt

=U_RmI_Rmsin²ωt

=U_RI_R（1-cos2ωt） （3-14）

其电压、电流、功率的波形图如图3-13所示。

从图中可知：只要有电流流过电阻，电阻R上的瞬时功率p≥0，即总是吸收功率（消耗功率）。其吸收功率的大小在工程上都用平均功率来表示。周期性交流电路中的平均功率就是瞬时功率在一个周期的平均值。平均功率：

又因U_R=RI_R

所以

由于平均功率反映了元件实际消耗电能的情况，所以又称有功功率。习惯上常简称功率。

【例3.4】额定电压为220V、功率为100W的电烙铁，误接在380V的交流电源上，问此时消耗的功率是多少？会出现什么现象。

解：已知额定电压和功率，可求出电烙铁的等效电阻

当误接在380V电源上时，电烙铁实际消耗的功率为

此时，电烙铁内的电阻很可能被烧断。

3.3.2 电感元件

图3-14 电感元件

1.电感元件上电压和电流的关系

设一电感L中通入正弦电流，其参考方向如图3-14所示。

设i_L=I_Lmsin（ωt+φ_i）

则电感两端的电压为

式（3-16）中

写成有效值为U_L=ωLI_L或 （3-17）

从以上分析可知：

（1）电感两端的电压与电流同频率；

（2）电感两端的电压在相位上超前电流90°；

（3）电感两端的电压与电流有效值（或最大值）之比为ω_L。

令：X_L=ω_L=2πf_L （3-18）

X_L称为感抗，它用来表示电感元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成正比。单位是欧姆。

在直流电路中，ω=0，X_L=0，所以电感在直流电路中视为短路。

将式（3-18）代入式（3-17）得

U_L=X_LI_L （3-19）

电感元件的电压、电流波形如图3-15所示（设φ_i=0）。电感元件上电压与电流的相量关系为

即

图3-15 电感元件的电压、电流波形

图3-16 电感元件的相量模型及相量图

a）相量模型 b）相量图

图3-16给出了电感元件的相量模型及相量图。

2.电感元件的功率

在电压与电流参考方向一致的情况下电感元件的瞬时功率为

p=u_Li_L

若电感两端的电流、电压为（设φ_i=0）：

则正弦交流电路中电感元件上的瞬时功率为

其电压、电流、功率的波形如图3-17所示。由式3-21或波形图都可以看出，此功率是以两倍角频率作正弦变化的。

电感在通以正弦电流时，所吸收的平均功率为

图3-17 电感元件的功率波形

式（3-22）表明电感元件是不消耗能量的，它是储能元件。电感吸收的瞬时功率不为零，在第一和第三个1/4周期内，瞬时功率为正值，电感吸取电源的电能，并将其转换成磁场能量储存起来；在第二和第四个1/4周期内，瞬时功率为负值，将储存的磁场能量转换成电能返送给电源。

为了衡量电源与电感元件间的能量交换的大小，把电感元件瞬时功率的最大值称为无功功率，用Q_L表示。

无功功率的单位为乏（var），工程中有时也用千乏（kvar）。

1kvar=10³var

【例3.5】若将L=20mH的电感元件，接在U_L=110V的正弦交流电源上，则通过的电流是1mA，求（1）电感元件的感抗及电源的频率。

（2）若把该元件接在直流110V电源上，会出现什么现象？

解：（1）电源频率

（2）在直流电路中，X_L=0，电流很大，电感元件可能被烧坏。

3.3.3 电容元件

图3-18 电容元件电路

1.电容元件上电压和电流的关系

设一电容C中通入正弦交流电，其参考方向如图3-18所示。设外接正弦交流电压为

u_C=U_Cmsin（ωt+φ_u）

则电路中电流为

式（3-24）中写成有效值为I_C=ωCU_C或 （3-25）

从以上分析可知：（1）电容两端的电压与电流同频率；

（2）电容两端的电压在相位上滞后电流90°；

（3）电容两端的电压与电流有效值之比为。令X_C称为容抗，它用来表示电容元件对电流阻碍作用的一个物理量。它与角频率成反比，单位是欧姆。

将式（3-26）代入式（3-25），得

U_C=X_CI_C （3-27）

电容元件的电压、电流波形如图3-19所示。（设φ_u=0），电容元件上电压与电流的相量关系为

图3-19 电容元件的电压、电流波形

即

图3-20 给出了电容元件的相量模型及相量图。

图3-20 电容元件的相量模型及相量图

a）相量模型 b）相量图

2.电容元件的功率

在电压与电流参考方向一致的情况下，设：u_C=U_Cmsinωt

则电容元件的瞬时功率为

其电压、电流、功率的波形如图3-21所示。由式（3-29）或波形图都可以看出，此功率是以两倍角频率作正弦变化的。

电容在通以正弦交流电流时，所吸收的平均功率为

图3-21 电容元件的功率波形图

与电感元件相同，电容元件也是不消耗能量的，它也是储能元件。在第一和第三个1/4周期内，电容吸收的瞬时功率不为零，瞬时功率为正值，电容吸取电源的电能，并将其转换成电场能量储存起来；在第二和第四个1/4周期内，瞬时功率为负值，将储存的电场能量转换成电能返送给电源。

用无功功率Q_C表示电源与电容间的能量交换

【例3.6】设加在一电容器上的电压u（t）=62sin（1000t-60°）V，其电容C为10μF，求：（1）流过电容的电流i（t）并画出电压、电流的相量图。（2）若接在直流6V的电源上，则电流为多少？

解：（1）

电容电流

电容电压、电流的相量如图3-22所示。

（2）若接在直流6V电源上，X_C=∞，I=0。

图3-22 电压、电流的相量图