3.1 基本概念

本节给出了一些与 (高超声速) 热力学相关的基本概念。在第3.1.1小节中，首先介绍了在高超声速流动中的一般性的热力学性质。其次，在3.1.2小节中，讨论再入飞行器的高超声速绕流结构的一般问题。最后，在3.1.3小节中简要介绍黏性效应。附录A中给出了黏性效应对气动特性近似影响的详细分析。

为了提供一个前后文衔接的架构，计算方案中对流动特性所做的基本假设的内容都包含在内。也可以参考大量详细讨论高超声速气动热力方面有价值的学术著作，比如：Anderson (2006)、Bertin (1994)、Rasmussen (1994)、Dorrance (1962)、Hayes和Probstein (1966) 及Hirschel (2005) 等的研究成果。

3.1.1 热力学性质

正如第3.2节中将要讨论的，再入飞行器的动力学行为在很大程度上是由其表面的压力分布决定的。在我们所感兴趣的自由来流中，可以使用理想气体定律：

式中，p, ρ, v和T分别是气体的当地压力、密度、比容和温度；R是比气体常数。方程 (3.1) 是基于所有分子间的力可被忽略的前提假设的，这样气体粒子可以非弹性碰撞建模，这就产生了优美的“盒中粒子”模型 (Anderson, 2006)。

比气体常数R的值与通用气体常数ℜ和气体摩尔质量μ相关：

应该强调的是，R的值是取决于计算结果，而ℜ是一个通用常值，其值约为8.314473 J/(K·mol)。对于海平面条件下的空气来说，其比气体常数的值为287.05 J/(kg·K)。这两个数可以分别被理解为“单位质量”和“每摩尔”的气体常数。另一个相关的常数是玻尔兹曼常数kB，它是“每个粒子”的气体常数，并且其值为1.380650×10 -23J/K。

描述气体性质关键的外在变量是能量和焓。这里我们将单位质量内能和焓值分别表示为e和h。这两个量之间的关系如下 (假设是理想气体)：

从这个关系中可以看出，焓是系统中能量的一个度量，由于包含了pv这一项，这个能量也包含了系统能够做的功。

为了将内能和焓关联到气体温度，我们引入了比热容cp和cv，它们的定义如下：

其中下标p、v分别表示是在常数p和v处求导。所以，cp的值受气体膨胀了多少的影响，即做了多少功，而cv则不是。这是由于若要压力随温度的增加而保持不变，(比) 体积就应当增加，见式 (3.1)，由此得出结论cp>cv。在再入飞行器气动热力学分析中，一个重要的相关的量是比热容比γ，其定义为

这个值一定总是大于1的。但在某些近似的方案中，我们会假设γ = 1(见第3.3.1节)，这意味着气体不会由于加热而膨胀。将式 (3.1) 代入式 (3.3)中，可以从式 (3.4) 和式 (3.5) 中比热容的定义看出，对于常数R将存在以下关系：

在1个大气压下，空气在低至800 K的低温情况下，气体流动可以被认为是量热完全的。量热完全气体的两种比热容，以及二者之间的比例是恒定的，并且存在以下关系：

在物理上，这个假设是有效的，因为粒子仅有的自由度是平移和旋转，因此分子可以被看作是“刚性转子”。

流动的另一个关键的外部属性是熵s，它是系统中粒子紊乱度的度量。熵是通过热力学第二定律在气体行为中起到关键作用的一个量，可将其表述为

其中，δq是系统内能的变化量；sirrev表示由于该过程的不可逆而引起的熵增。熵本质上是一个统计量，因此，上述关系应该以“平均”的意义来看待。然而，在空气动力学中所处理的粒子数量在所有的实际情况下都是不相等的。

ds = 0的过程被称为是等熵的。对于一个等熵过程，可以使用以下等式将流线上两个点的热力学的量关联起来：

这是基于量热完全气体的假设。如果一个热力学过程是可逆且绝热的，那么这个过程就是一个等熵的过程。绝热的过程是没有外界的热量增加到系统中的。

除了流体的属性，如压力、密度、温度等，它们相关总的 (或者停滞) 特性对于计算飞行器的气动特性也是有意义的。这些量是使流体绝热静止时得到的，造成p, ρ和T增加。对于计算总焓hT，下面是典型的近似方法 (它来自常数cp和cv)：

它是与自由焓h和速度V相关的。总温可以由这个关系和用于量热完全气体的式(3.6) ~式 (3.8) 得到，如下：

同时也假设停滞过程是等熵的，那么式 (3.12) 和式 (3.13) 可以用来确定总压和密度。虽然只适用于量热完全气体的等熵、绝热减速的过程，但这种简单的模型允许对再入期间气动热力学行为的一些关键方面进行可接受的准确描述，至少对于概念设计来说是可行的 (第3.3节)。

对于超声速流动的描述，一个基本的特征是气体中的声速，即无穷小压力变化通过流动传播的速度。如果飞行器在气流中穿行的速度大于这个速度，那么飞行器上游的气体粒子就不会注意到它。这将在下一节中更详细地讨论。这个特征速度称为声速，用a表示，它可以由下式确定：

与这个量相关的是马赫数，表示速度V与声速的比，因此它的定义如下：

马赫数是超声速和高超声速流动重要的特征之一，并且它是函数中一个重要的独立变量，而这些函数通常用于计算诸如气动系数等一些特性。

3.1.2 超声速/高超声速流动特性

在M > 1的流动中，飞行器前进的速度大于扰动在上游传播的速度，这意味着飞行器前方的空气“不知道”飞行器正在接近。这导致激波的形成，它是速度的不连续性和热力学属性。根据超声速飞行的飞行器的外形，激波可能是附体的或者脱体的，可能是正的或者弯曲的 (图3.3)，其原因我们很快会探讨。

稳定激波之后的气流参量用下标2表示，激波之前的则用下标1表示，它们可由兰金 -于戈尼奥 (Rankine -Hugoniot) 关系表示出来，见式 (3.18) ~式(3.22)。当穿过一个激波，它们遵循质量守恒、动量守恒及总焓守恒定律：

熵增方程假定是量热完全气体。从这些关系中可以看出，压力和密度及由式(3.1) 可知的温度，在激波之后都增加了，这是由速度降低而质量和动量守恒所造成的。同时，这些量也随着Mn,1值的增加而增大，因此自由来流的马赫数或激波角也是增加的。

在穿过一个不垂直于来流的激波之后，气流将相对于其初始方向偏转一个角度θ(图3.1)。

θ角与自由来流的马赫数和激波角β相关，并有以下关系：

θ, β和M之间的关系如图3.2所示。从这个图中可以明显看到激波行为的两个关键特性。首先，对于大于θmax(M) 的偏转角，不存在斜激波的解，因此产生了一个脱体激波 (图3.3)。其次，图3.2显示出对小于θmax的每个θ角来说，都存在两个可行的激波角的解，即所谓的弱激波解 (较小的β) 和强激波解 (较大的β)。这些名称来源于流量在激波上跳动的大小，这对于强激波解来说更大。但在实际情况中，通常是产生弱激波解，除非有相反的信息，如在给定的情况下弱激波无法形成。

无限弱的斜激波叫作马赫波，这种波的激波角可以用μ来表示，称为马赫角：

当机体表面无法形成附体激波的情况下，如图3.3右侧那样就会形成脱体激波。对于这样一个脱体激波，流动将垂直于单个流线上的激波，并且从该交点弯曲到更高的β值，因此，不同的流线将穿过不同强度的激波，使得激波之后的流场分析更加复杂化。再入飞行器通常是采用钝头前缘，因为尖锐的前缘将承受极端的加热 (如不主动冷却)。从式 (3.20) 可以推导出，在一个具有较高β角的激波之后，流动将是亚声速的。由此在飞行器驻点附近将形成一个区域，这个区域内的流动是亚声速的，而远离这个区域的流动则是超声速的。在激波和机体之间，流动从亚声速转换到超声速的那条线叫作声速线，在机体表面 (更准确地说是在边界层的边缘) 上M = 1的那个点叫作声速点。

除了将气流压缩了的激波外，膨胀波也可能在超声速流动中产生。激波是因空气可以通过的横截面积减小而造成的 (如由于再入飞行器的“突然”出现)。另外，膨胀波则是由于气流流过飞行器之后，这个截面积增加而引起的。对于已知的偏转角θ，偏转后的 (下标2) 马赫数可以由偏转之前的状态利用普朗特-迈耶尔函数ν(M) 计算得到：

膨胀波是等熵的，因此波后的热力学状态可以通过式 (3.12) 和式 (3.13)与波前的状态关联起来。它可以被看作是马赫波的“扇子”，膨胀波扇在膨胀前后的倾斜角度可以由式 (3.24) 确定。可能的最大转角，可以由对应膨胀到真空的ν(M2) 的最大值确定。对应的这个ν(M2) 的值称为：

为了从式 (3.26) 得到膨胀之后的马赫数，需要对函数ν(M) 反推。不幸的是，无法得到闭合形式的解，所以需要使用数值解或者近似关系，如相关性。Hall (1975) 给出了反推方程的一组近似解：

表3.1给出了在γ = 1.4情况下系数的值。

这里应该讨论的是最终的流动效果，虽然严格意义上来说不是超声速或高超声速流的一部分，却是稀薄流。在较高的高度下，密度非常低，流体是连续体的假设不再有效，并且其行为和对飞行器的影响将发生改变。对于稀薄流，努森数Kn是一个定义的参数：

式中，Lref是飞行器的特征长度；λ是平均自由程，它是一个粒子与另一个粒子碰撞前移动的平均距离。现在，三种不同的流动状态可以被区别出来：自由分子流，Kn>1.0；过渡流，0.03<Kn<1.0；连续流，Kn<0.03。

在连续流中，一个粒子在撞击机体后，会撞击另一个非常接近机体的粒子，因此该流体可以被认为是粒子的连续体。然而对于稀薄流，粒子在碰撞飞行器之后需要移动相对很长的距离才能撞击另一个粒子，这导致连续流的假设是无效的。相反，最好使稀薄流建模成为能够用统计来确定数量的离散的粒子。由于在连续流和稀薄流之间没有明确的界线，因此通常会使用称为过渡流的中间体。由于高度高，空气密度低，自由分子流的效应对飞行器动力学与热状态的影响是有限的。因此，在研究中所有的计算都将采用连续体假设。

3.1.3 黏性

除了质量、动量和能量的无黏传输之外，由分子间相关作用产生的黏性效应也会引起这些量的额外传输。确定这些通量大小的流动特性分别是扩散系数、黏性系数和导热系数。黏性运输是由流体的动量和温度的浓度梯度所造成的。基于无滑移条件，这种运输会使壁面上形成一个边界层，这要求飞行器表面的气流速度为零。此外，飞行器表面温度必须与在表面流动的气流温度相等。这样就形成了速度和温度梯度，进而产生摩擦力和热传递。

黏度μ决定了动量的黏性传递，它也是测定黏度对气动力影响的重要因素。为此，相对于特征长度x的雷诺数定义如下：

它是惯性力和黏性力比值的量度。

利用这些基本概念，以及一些其他方法，我们在附录A中给出了推导及一些仿真模拟。在附录A中，使用了一个简单的模型 (Eckert, 1995; Hansen, 1958; White, 2006) 来估算关于压力的相对黏性力的大小，以供我们后续进一步分析时做参考。结果表明，对于我们的目标来说，黏性力非常小，可以忽略不计 (大多数情况下不超过压力大小的5%)。

尽管在将要进行的分析中，黏性流对气动载荷的影响会被忽略，但第3.4节中仍然给出了气动加热的一些其他的有关问题。关于黏性流更加详细的内容可以在White (2006), Schlichting和Gersten (1999) 及Dorrance (1962) 等的文章或著作中找到。