1.12　圆周的弦长

按照数学家的普遍做法，我将圆分为360°。但是根据托勒密的《天文学大成》，早期的数学家将直径划分为120等分。但由于弦长大部分是无理数，甚至平方后也是，因此，为了避免弦长在运算中出现分数，后人采用了1200000等分，也有人采用了2000000等分。印度数码通行后，又出现了更多的适用型直径体系。运用这些体系做快速运算，显然比希腊人或拉丁人建立的体系更为精确。因此，我采用了直径的200000等分。这种等分法完全可以排除较大的误差，如果出现数量比不是整数比的情况，我们只能取一个近似值。下面，我将严格仿照托勒密的方法，用六条定理和一个问题来阐述我的观点。

定理一：

如果知道圆的直径，则内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

直径的一半等于六角形的边长。欧几里得在《几何原本》中证明：三角形边长的平方等于六角形边长平方的3倍，正方形边长的平方等于六角形边长的2倍。因此，如果取六角形边长为100000P，那么，正方形的边长为141422P；三角形的边长为173205P。证明如下（见图1.5）。

令：六角形一条边长为AB。

已知：根据《几何原本》第二卷第十题，线AB在C点被分为平均比值和极端比值两段。我们令较长的一段为CB，并将它延伸至相等长度BD。

因此，线ABD也被分成了平均比值和极端比值。

延伸部分BD是较短的一段，内接于圆内十角形的一边。已知AB是六角形的一边。那么，我们可以求出BD的长度。

E点平分线段AB。由《几何原本》可知，线段EBD的平方是线段EB平方的5倍。

已知：EB的长度为50000P。由它的平方的5倍可得EBD的长度为111803P。

又得：EBD-BD＝111803P-50000P＝61803P，即我们所求的十角形的边长。

同理，五角形边长的平方等于六角形边长与十角形边长平方的和。由此可得五角形边长为117557P。

结论：当圆的直径已知时，内接三角形、正方形、五角形、六角形和十角形的边长均可求得。

推论

当已知任意圆弧的弦时，可求得半圆剩余部分所对的弦长。内接于一个半圆的角为直角。在直角三角形中，与直角相对应的边（即直径）的平方等于另外两边的平方之和。十角形一边所对的弧为36°。定理一已证明它的长度为61803P，直径为200000P。因此，半圆剩下的144°所对的弦长就是190211P。五角形一边的长度为117557P，它所对的弧为72°，剩下的108°半圆所对弦长可求得为161803P。

定理二（定理三的预备定理）：

在圆的内接四边形中，以对角线为边形成的矩形等于两组对边所作矩形之和（见图1.6）。

令：矩形ABCD为圆的内接四边形。

∵对角线的乘积AC×DB＝AB×DC＋AD×BC。取∠ABE＝∠CBD。可得出∠ABD＝∠EBC，∠EBD为两角所共有。且∠ACB＝∠BDA。

∴两个相似三角形（△BCE和△BDA）的相应边长成比例，即BC∶BD＝EC∶AD。

EC×BD＝BC×AD。

∵∠ABE＝∠CBD，∠BAC与∠BDC都因截取同一圆弧而相等。

∴△ABE∽△CBD。

同理，AB∶BD＝AE∶CD，AB×CD＝AE×BD，且AD×BC＝BD×EC。

∴BD×AC＝AD×BC＋AB×CD。得证。

定理三：

已知一个半圆中两段不相等弧所对的弦长，则可求得两弧之差所对的弦长（见图1.7）。

在半圆ABCD中，AD为直径。令AB和AC为半圆中两段不相等弧所对的弦长，求弦长BC的长度。

根据定理一的推论，我们可求出半圆中弧的弦BD和CD的长度。在半圆中形成四边形ABCD，对角线AC和BD，以及AB、AD和CD这三条边都已知。

根据定理二，在四边形ABCD中，AC×BD＝AB×CD＋AD×BC。

∴AC×BD-AB×CD＝AD×BC。如果该数值除以AD的长度（这是可行的），即可得到弦BC的长度。

假设：五角形和六角形的边长已知，二者之差为72°-60°＝12°。

那么：用这个方法求得弦长为20905P。

定理四：

已知任意弧所对的弦，可求其半弧所对的弦长（见图1.8）。

令：圆为ABC，AC为直径，BC是给定的弧。

过圆心E作直线EF与BC垂直。根据《几何原本》，EF将BC等分于F。延长EF，将弧BDC等分于D。作弦AB和BD。△ABC和△EFC为直角三角形。

∵∠ECF为△ABC和△EFC的公共角，且△ABC∽△EFC，BFC＝2CF。

∴AB＝2EF，弦AB的长度可由定理一的推论求得，从而求出EF和DF的长度。

作直径DEG，连接BG。在△BDG中，从直角顶点B向斜边作垂直线段BF。

∵GD×DF＝BD2，于是可求出弧BDG的一半所对的弦BD的长度。

根据定理三，已求得对应于12°的弦长，那么，对应于6°的弦长也可求出为10467P；3°为5235P；为2618P；为1309P。

定理五：

已知两弧所对的弦，可求出两弧之和所对的弦长（见图1.9）。

令：圆内已知的两段弦为AB和BC，求对应于整条ABC弧的弦长。

作直径AFD和BFE及直线BD和CE。

AB和BC已知，且DE＝AB，由定理一可推论出这些弦长。

连接CD，构成四边形BCDE。该四边形的对角线BD和CE以及三条边BC、DE和BE都可求得。剩余的一边CD可由定理二求出。

因此，我们可以得到与半圆余下部分所对的弦，即整个所对的弦CA的长度。

至此，与3°、和相对的弦长都已求得。取这样的间距和数值，可以制作精确的图表。如果要增加1°或，使两段弦相加，或作其他运算，那么所求得的弦长是否正确就值得怀疑了。因为目前还找不到它们之间的图形关系。但另一种方法可以做到这一点，并且不会产生较大的误差，只是需要使用一组非常精确的数字。托勒密也计算过1°和的弦长。他最先指出这个问题。

定理六：

大弧与小弧之比大于所对应两弦长之比（见图1.10）。

令：和为圆内两段相邻的弧，且BC＞AB（需要说明的是，BC∶AB的比值大于构成B角的弦的比值BC∶AB）。直线BD等分B角。

连接AC，该线段与BD相交于E点。再连接AD和CD。由于它们所对的弧相等，因此，AD＝CD。

∵在△ABC中，角等分线BE与AC相交于E点。

∴EC∶AE＝BC∶AB，且BC＞AB，EC＞EA。

作DF⊥AC。DF等分线段AC于F点（此点应在EC内）。

在每个三角形中，大角对长边。

因此，在△DEF中，DE边长于DF边。AD边长于DE边。以D为中心、DE为半径画的圆弧，与AD相交并超出DF。

令：此与AD相交于H，并与DF的延长线相交于I。

由此可知，扇形EDI＞△EDF。△DEA＞扇形DEH。

∵△DEF∶△DEA＜扇形EDI∶扇形DEH。但扇形与其弧或中心角成正比，而顶点相同的三角形与其底边成正比。

∴用EDF∶ADE表示的角度之比大于用EF∶AE表示的顶边之比。并能进一步证明，∠FDA∶∠ADE的角度比大于AF∶AE的边长比。

同理可证，∠CDA∶∠ADE＞AC∶AE，CE∶EA＜∠CDE∶∠EDA，∠CDE∶∠EDA＝CB∶AB。CE∶AE＝BC∶AB。

由此得证：弧长之比CB∶AB大于弦长之比BC∶AB。

由于两点之间直线最短，弧线总是长于其所对的弦。但随着弧线弯曲程度的不断减小，不等于符号便趋近于等号，最终直线和圆弧同时在圆上的切点处消失。在这种情况出现之前，它们的差必定小到无法计算。我们来看（见图1.11）：

令：。

设：直径AB长200000P，按定理四可得，所对弦长为5235P，所对弦长为2618P。是的两倍，但AB弦不到AC弦的两倍，后者比2617只大一个单位。

取＝，＝。

可得：AB弦为2618P，AC为1309P。虽然AC弦应当大于AB弦的一半，但似乎又是一样大，两弧之比与两弦之比趋于一致。由此可知，趋近于直线的弧线之差根本无法察觉，它们似乎已化为同一条线。

因此，我可以毫不犹豫地把和1309P这两个数值同样用于1°或某些分度所对弦的计算。那么，与相加，可得1°所对弦为1745P；为；为582P。

如果需要制一个表，我相信只需录入倍弧所对的半弧就足够了。用这种简化方法，我可以把以前需要在半圆内展开的数值压缩到一个象限之内，因为在证题和计算时，半弦比整弦用得更多。我取制表，共分三栏。第一栏是圆周的分度和六分度。第二栏是倍弧的半弦数值。第三栏是每隔一度的差额。利用这些差额，可以得到一度内的分数内相应的正比量（见《圆周弦长表》）。