第7节　剩余为-1

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定理

-1是所有形如4n＋1的质数的二次剩余，并且是所有形如4n＋3的质数的二次非剩余。

例：从数2，5，4，12，6，9，23，11，27，34，22，…的平方可以发现，-1分别是数5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97，…的剩余；并且，-1是数3，7，11，19，23，31，43，47，9，67，71，79，83，…的非剩余。

在条目64中我们提到了这个定理，从条目106可以轻松得到对这个定理的证明。因为，对于形如4n＋1的质数我们有（-1）2n≡1，对于形如4n＋3的质数我们有（-1）2n＋1≡-1。这个证明与条目64中的证明一致。因为这个定理非常优雅、实用，我们再给出一个证明。

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我们用字母C表示质数p的所有小于p但不包括0的剩余组成的总体。这些剩余的个数总是等于，因此，当p是形如4n＋1时，这些剩余的个数显然是偶数；当p是形如4n＋3时，这些剩余的个数显然是奇数。沿袭条目77中的说法（那里的数是任意数），我们就把那些乘积同余于1（mod p）的数称为关联剩余；因为，如果r是剩余，那么（mod p）也是剩余。因为一个剩余在C中不可能有多个关联剩余，显然，所有的剩余C可以划分为若干组，每组含一对关联剩余。如果没有与自身关联的剩余，即，如果每组都含一对不相等的剩余，所有剩余的个数就是组数的两倍；但是，如果存在某些剩余是其自身的关联剩余，那么就存在某些组只包含一个剩余，或者也可以说只包含两个一样的剩余，所有剩余C的个数就等于a＋2b，其中a是第二种类型的组数，b是第1种类型的组数。那么，当模p是形如4n＋1，a就是偶数；当p是形如4n＋3，a就是奇数。但是，除了1和p-1之外，不存在小于p并且与自身关联的数（参考条目77）；且第1种类型的剩余里面必然有1。那么，p-1（或-1，也是同样地）在前一种情况下必定是剩余，在后一种情况下必定是非剩余。否则的话，在前一种情况下就有a＝1，在后一种情况下有a＝2，这是不可能的。

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这个证明归功于欧拉。他也是发现之前的证明方法的第一人（见Opuscula Analytica^[4]）。容易发现的是，这个证明与我们对威尔逊定理的第2个证明所依赖的原理非常相似（参考条目77）。并且，如果我们假设这个定理是成立的，上面的证明就会变得非常简单。因为，在数1，2，3，…，p-1中，有个p的二次剩余，还有个p的二次非剩余；所以，当p形如4n＋1时，非剩余的个数就是偶数；当p形如4n＋3时，非剩余的个数就是奇数。那么，在前一种情况下，所有数1，2，3，…，p-1的乘积就是剩余；在后一种情况下，它就是非剩余（参考条目99）。但是，这个乘积总是同余于-1（mod p），因而，在前一种情况下，-1是一个剩余，在后一种情况下，-1是一个非剩余。

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因此，如果r是任何形如4n＋1的质数的剩余，那么-r也是这个质数的剩余；并且，即使它的所有非剩余取负号，它们仍旧是非剩余^[5]。对于形如4n＋3的质数，上面的结论反过来也是成立的，即，当它的所有剩余取负号，它们就会变成非剩余，反之亦然（参考条目98）。

从上面的讨论可以推出这个一般规律：-1是所有既不能被4整除，也不能被任何形如4n＋3的质数整除的数的剩余；它是所有其他数的非剩余（参考条目103和105）。