第11节　关于周期和原根的几条定理

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在离开这个论题之前，我们再列举几个定理，它们的简洁值得我们注意。

任意一个数的周期中所有的项的个数，或者说这个数所属的指数如果是奇数，则这些项的乘积同余于1；如果这个数所属的指数是偶数，则这些项的乘积同余于-1。

例：对于模13，数5的周期包含这些项——1，5，12，8，它们的乘积480≡-1（mod 13）。

对于相同的模，数3的周期包含这些项——1，3，9，它们的乘积27≡1（mod 13）。

证明

令该数所属的指数为t，该数的指标为（p-1）/t，如果我们选择恰当的基数（参考条目71），就总是可以做到这一点。那么该数的周期中，所有项的乘积的指标与下式同余

即，当t是奇数时，同余于0（mod p-1）；当t是偶数时，同余于（mod p-1）。在前一种情况，乘积同余于1（mod p）；在后一种情况，乘积同余于-1（mod p）（条目62）。证明完毕。