1.4 无穷小与无穷大

1.4.1 无穷小

以0为极限的函数在理论研究和实际应用中都非常重要，下面我们介绍以0为极限的函数——无穷小.

定义1.4.1　如果，则称f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷小量，简称无穷小.

例如当x→0时，x，x2，sin x都是无穷小；当x→1时，x-1，x2-1是无穷小；当x→+∞时，都是无穷小.

极限过程x→x0，x→∞可换成单侧极限过程，如为当x→0时的无穷小.

无穷小是指在x的某种变化过程下以零为极限的函数，而且无穷小这个函数与自变量x的变化过程有关. 例如当x→0时，x2是无穷小，但是当x→1时，x2就不是无穷小了. 另外，无穷小是以零为极限的函数（变量），任何一个非零常数，无论它的绝对值多么小，都不是无穷小，但是常数0可以看作无穷小.

无穷小与函数极限有下列关系：

定理1.4.1　的充分必要条件是f（x）=A+α（x），（其中）.

证　. 记α=α（x）=f（x）-A，则f（x）=A+α（x），其中.

反之，.

定理1.4.1揭示了无穷小与函数极限的关系，所以又称无穷小定理. 以上无穷小的结论，对于x→∞等其他情形也成立.

根据无穷小的定义，可以得到它的一些运算性质：

定理1.4.2　在自变量的同一个极限过程中，有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.

例如，当x→0时，x，x2，sin x都是无穷小，那么x2+sin x，x sinx，x+x2-sin x都是无穷小.

定理1.4.3　有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.

证　我们只证明x→x0的情形，其他情形同理可证.

设函数u（x）在x0的δ1去心邻域内有界，故存在正数M，当时，|u（x）|≤M. 又设α（x）为当x→x0时的无穷小，所以对给定的ε>0，存在δ2>0，当时，取，则当，恒有

所以u（x）α（x）是当x→x0时的无穷小.

推论1.4.1　常数与无穷小的乘积仍是无穷小.

例如，当x→0时，x2，sin x都是无穷小，由以上性质和推论可知，2x2+sin x是无穷小.

例1.4.1　求.

解　由于，由定理1.4.3知

1.4.2 无穷大

如果当x→x0（或x→∞）时，对应的函数值的绝对值|f（x）|无限增大，即

则称f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大.

无穷大的精确定义如下：

定义1.4.2　设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义），如果∀M>0，∃δ>0（X>0），使得当0<|x-x0|<δ（|x|>X）时，恒有|f（x）|>M，就称f（x）是当x→x0（或x→∞）时的无穷大，记作

同理可以给出f（x）→-∞，f（x）→+∞的定义.

需要注意的是，当x→x0（或x→∞）时为无穷大的函数f（x），按函数极限的定义来看，极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”. 另外，很大很大的数不是无穷大.

例如，当x→0时，都是无穷大；当x→+∞时，x，ex都是无穷大.

例1.4.2　证明.

证　设∀M>0，要使

只要

所以，取时，就有

这就证明了.

定理1.4.4（无穷小与无穷大的关系）　在自变量x的同一个变化过程下，如果函数f（x）是无穷大，则是无穷小；反之，如果函数f（x）是无穷小，且f（x）≠0，则是无穷大.

证　设.

∀ε>0，根据无穷大的定义，对于，当0<|x-x0|<δ时，有

所以是当x→x0时的无穷小.

反之，设，且f（x）≠0.

∀M>0. 根据无穷小的定义，对于，当0<|x-x0|<δ时，有

由于当0<|x-x0|<δ时f（x）≠0，从而

所以是当x→x0时的无穷大.

类似地可证当x→∞时的情形.

习题1-4

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明.

2. 下列函数在什么情况下是无穷小？什么情况下是无穷大？

（1）e-x；

（2）；

（3）

（4）lg x；

（5）ln（1+x）；

（6）.

3. 求下列极限：

4. 当x→∞时，将下列y=f（x）表示表示成一个常数和无穷小之和.

5. 证明函数在区间（0，1]上无界，但当x→0+时，这个函数不是无穷大.