1.1 函数_高等数学(上册)-QQ阅读男生玄幻网

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1.1 函数

函数是微积分的主要研究对象，本节将在中学代数关于函数知识的基础上进一步讨论函数的概念和性质.

1.1.1 函数的定义

在中学代数里介绍过，实数由有理数和无理数两部分组成，实数集与数轴上的全体点形成一一对应关系，实数集有两类特殊的子集——区间和邻域.

设a，b为两个实数，且a<b，集合{x|a<x<b}称为以a，b为端点的开区间，记为（a，b）. 类似的还有闭区间[a，b]={x|a≤x≤b}，左开右闭区间（a，b]={x|a<x≤b}和左闭右开区间[a，b）={x|a≤x<b}. 上述各个区间的端点都是点a和b，区间的长度都是b-a，由于b-a为有限数，因此上述区间都称为有限区间.

如果区间的两个端点中至少有一个是∞（无限数），则称该区间为无限区间. 例如[a，+∞）={x|x≥a}、（a，+∞）={x|x>a}、（-∞，b）={x|x<b}和（-∞，b）={x|x≤b}都是无限区间. 实数集R可记作（-∞，+∞），也是无限区间.

在后面的章节中经常会用到一种特殊的开区间——邻域. 我们把以点x0为中心，某一很小的正数δ为半径的开区间（x0-δ，x0+δ）称为x0的δ邻域，记为U（x0，δ），即U（x0，δ）=（x0-δ，x0+δ）={x||x-x0|<δ}. 点x0称为该邻域的中心，正数δ称为该邻域的半径. 将邻域U（x0，δ）中去掉中心点x0，则称为点x0的去心δ邻域，记为，即={x|0<x-x0|<δ}=（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ）. 其中（x0-δ，x0）称为x0的左δ邻域，（x0，x0+δ）称为x0的右δ邻域.

在具体研究某一实际问题的过程中，我们发现问题中的变量并不是独立变化的，它们之间往往存在着相互依赖关系，当一个变量在它的变化域中任取一值时，另一个变量按照某种法则就有一个确定的值与之对应. 把这种确定的依赖关系抽象出来，就是函数的概念.

定义1.1.1　设非空数集D及变量x，y，如果变量x在D内任取一个值，按照一定的对应法则f，变量y总有唯一确定的数值与之相对应，则称y是x的函数，记作y=f（x），x∈D. 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域. 所有函数值的全体W={y|y=f（x），x∈D}称为函数的值域.

关于函数的概念，有以下几点说明。

（1）定义域和对应法则是确定一个函数的两大要素，如果两个函数的定义域和对应法则都相同，那它们是相同的函数，否则就是不同的函数. 例如y=x（x∈R）和不是同一个函数，虽然定义域相同，但对应法则不同，导致值域不同.

（2）当函数是用抽象的算式（解析式）表达时，其定义域是使算式有意义的一切实数构成的集合，例如函数的定义域是闭区间[-1，1]. 对于实际问题中的函数，其定义域不仅要使函数的表达式有意义，还要由实际意义来确定，例如某细胞繁殖的生长率函数为r=36t-t2，其中t表示时间，由实际意义知函数的定义域是[0，+∞].

（3）平面点集C={（x，y）|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的图形（或图像），y=f（x）称为C的方程.

（4）在函数定义1.1.1中，如果自变量x在D内任取一个值，对应的函数值y总是唯一的，这样的函数又称为单值函数. 否则称为多值函数. 例如在方程x2+y2=4中，对于每一个x∈（-2，2），都有两个值与之对应，因此，方程x2+y2=4确定了一个以x为自变量、y为因变量的多值函数. 如果附加一些条件，将多值函数化为单值函数，这样得到的单值函数称为原来多值函数的单值分支. 例如限定y≥0，则由方程x2+y2=4确定的单值函数，是原来多值函数的一个单值分支；同样地，是另一个单值分支. 本书中，若无特别说明时，所称的函数都是指单值函数.

（5）函数的表示方式通常有三种：解析法、图像法和列表法，其中最常用的是解析法.

例1.1.1　符号函数

其定义域为（-∞，+∞），值域是{-1，0，1}，图形如图1-1-1所示.

图1-1-1

例1.1.2　设x是任意实数，取整函数y=[x]表示取不超过x的最大整数，例如[3.25]=3，[0.5]=0，[3]=3，[-2.2]=-3，[-0.75]=-1. 其定义域是（-∞，+∞），值域是{0，±1，±2，…}. 图形如图1-1-2所示. 这图形称为阶梯曲线，在x为整数值处，图形发生跳跃，跃度为1.

图1-1-2

在表示变量x和y的函数关系时，往往需要引入中间变量（例如t），通过建立x与t和y与t的函数关系x=ϕ（t）和y=ψ（t），来表达y与x的函数关系，这类函数称为参变量函数，即

下面介绍高等数学中经常用到的几种曲线的参数方程及图形.

（1）圆（x-x0）2+（y-y0）2=R2的参数方程是.

（2）椭圆的参数方程是.

（3）摆线的参数方程是. 图形如图1-1-3所示. 它是将半径为a的圆沿直线滚动（无滑动），圆上一点所形成的轨迹. 限定t∈[0，2π]，则为摆线的一拱.

图1-1-3

（4）星形线的方程，其参数方程是. 图形如图图1-1-4所示. 它是半径为的圆在半径为a的圆上（里边）滚动而形成的轨迹.

图1-1-4

1.1.2 函数的几种特性

1. 单调性

设函数y=f（x），x∈D，如果对于D内任意两点x1和x2，且x1<x2，有f（x1）≤f（x2）（或f（x1）≥f（x2）），则称函数f（x）在D内是单调增加的（或单调减少的）. 单调增加函数和单调减少的函数统称为单调函数. 若当x1<x2，有f（x1）<f（x2）（或f（x1）>f（x2）），则称函数f（x）在D内是严格单调增加的（或严格单调减少的）. 严格单调增加函数和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.

例如函数y=x2在区间[0，+∞）上是严格单调增加的，在区间（-∞，0]上是严格单调减少的，但在区间（-∞，+∞）上不具有单调性. 所以研究函数f（x）的单调性时，必须指明所讨论的区间.

2. 奇偶性

设函数y=f（x），x∈D，定义域D关于原点对称（即若x∈D，则-x∈D）. 若对于任意x∈D，若f（-x）=-f（x），则称f（x）是奇函数；若f（-x）=f（x），则称f（x）是偶函数. 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.

例如y=sin x，y=x3都是奇函数，y=x2，y=cos x都是偶函数，y=ex，y=sin x+cos x既不是奇函数，也不是偶函数.

3. 周期性

设函数y=f（x），x∈D，如果存在非零常数T，对任意x∈D，有x+T∈D，且f（x+T）=f（x），则称f（x）是周期函数，T称为函数的一个周期. 显然，若T是函数f（x）的周期，则kT，（k=±1，±2，…）也是f（x）的周期，通常所说的周期函数的周期指的是它的最小正周期. 例如y=sin x，y=cos x是以2π为周期的周期函数，y=tan x，y=cot x是以π为周期的周期函数.

但并非所有的周期函数都有最小正周期，例如常函数y=C是周期函数，任意实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.

4. 有界性

设函数y=f（x），x∈D，如果存在常数K1（或K2），对于任意x∈D，都有f（x）≤K1（或f（x）≥K2），则称函数f（x）在D上有上界（或下界），K1（或K2）就是f（x）的一个上界（或下界）. 如果存在正数M，对于任意x∈D，都有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，也称f（x）是D上的有界函数. 否则，称f（x）是D上的无界函数. 容易证明，函数f（x）在D上有界的充分必要条件是它在D上既有上界又有下界.

需要注意的是，说一个函数有界还是无界，必须指明讨论的区间. 如函数y=sin x在定义域（-∞，+∞）上是有界的，函数y=ln x在定义域（0，+∞）上是无界的. 如函数在区间（0，1）内无界，但在区间[1，2]却是有界的.

1.1.3 反函数和复合函数

我们知道，通过函数的运算，可以由简单函数构造复杂的函数. 函数的运算主要包括函数的四则运算、反函数运算和复合运算，其中四则运算是大家已经熟悉的了，所以在此仅讨论函数的反函数运算和复合运算.

1. 反函数

在函数定义中的两个变量，一个叫作自变量，一个叫作因变量，但在实际问题中，哪个是自变量，哪个是因变量并不是绝对的，要根据所研究的具体问题而定. 例如，设函数y=x+2，x∈R，其中x为自变量，y为因变量，值域为R. 从中解出x=y-2，对于值域R中的任一个值y，都有唯一确定的一个x与之相对应，我们称x=y-2是y=x+2的反函数. 由于习惯上自变量用x表示，因变量用y表示，于是y=x-2，x∈R. y=x+2的反函数通常写作y=x-2，x∈R.

定义1.1.2　设y=f（x）是定义在D上的一个函数，值域为W. 如果对每一个y∈W都有唯一的且满足关系式y=f（x）的x与之对应，则确定了一个定义在W上、以y为自变量、x为因变量的新函数，称之为y=f（x）的反函数，记为x=f-1（y）. 而原来的函数y=f（x）称为直接函数，或称它们互为反函数.

我们通常习惯上用x表示自变量、y表示因变量，因此，可以把x=f-1（y）改写为y=f-1（x），x∈W，这时我们说y=f-1（x）是y=f（x）的反函数. 由定义可知，反函数的定义域、值域分别是它的直接函数的值域、定义域. 反函数和直接函数的图形关于直线y=x对称.

我们说的函数是单值函数，在这个意义上，并不是所有函数都有反函数. 例如函数y=x2在（-∞，+∞）内不存在（单值）反函数，因为对于值域W=[0，+∞）中的每一个值y，通过关系式y=x2确定的x不唯一. 不过在许多情形下，当我们限定x的取值范围时，仍有可能存在反函数. 例如限定x≥0，则存在反函数；如果限定x≤0，则存在反函数.

一般地，若函数y=f（x）是定义在数集D上的严格单调函数，则一定存在反函数.

有些函数的反函数存在，但不一定能够用一个显函数表示出来，即由y=f（x）可能解不出x=g（y），但反函数存在，这时y=f（x）的反函数表示为隐函数形式.

2. 复合函数

定义1.1.3　设函数y=f（u），u∈D和函数u=g（x），x∈E. 若函数u=g（x）的值域W是D的子集，则称函数y=f[g（x）]，x∈E是x的复合函数，其中称x为自变量，y称为因变量，u称为中间变量.

函数g与函数f构成的复合函数通常记为.

y=eu，u=sin v，可以复合成函数，其定义域是[0，+∞）. 值得注意的是，并不是任意两个函数都可以复合成一个复合函数，如函数y=arcsin u和u=x2+2就不能复合成y=arcsin（x2+2），因为函数u=x2+2的值域是[2，+∞），但y=arcsin u的定义域是[-1，1].

1.1.4 初等函数

1. 基本初等函数

基本初等函数通常包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数. 在中学数学课程中已经介绍过这些函数，这里只简单复习一下.

（1）常数函数y=C，x∈（-∞，+∞）

它的定义域为（-∞，+∞），值域为{C}，图形是一条过点（0，C）且平行于x轴的直线，如图1-1-5所示. 常数函数是有界函数、周期函数（没有最小正周期）、偶函数，特别地，当C=0时它也是奇函数.

图1-1-5

（2）幂函数y=xμ，μ≠0

幂函数的定义域根据μ值的不同而不同. 当μ为有理数（其中p，q是整数，且p，q互质）时，其定义域见表1-1-1. 当μ为无理数时，y=xμ，μ≠0定义为y=10μlgx，其定义域为（0，+∞）.

表1-1-1

当x>0时，xμ>0，此时函数y=xμ的图形在第一象限，且总经过点（1，1），当μ>0时，函数y=xμ单调增加；当μ<0时，函数y=xμ单调减少. 函数y=xμ和互为反函数，其图形关于y=x对称（如图1-1-6所示）.

图1-1-6

（3）指数函数y=ax，（a>0且a≠1）

指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞），图形总过点（0，1）. 当a>1时函数单调增加，当0<a<1时函数单调减少，如图1-1-7所示.

图1-1-7

（4）对数函数y=loga x，（a>0且a≠1）

对数函数和指数函数互为反函数，因此由指数函数的性质知，对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）. 不论a取何值，函数的图形都经过点（1，0）. 当a>1时函数单调增加，当0<a<1时函数单调减少，如图1-1-8所示.

图1-1-8

（5）三角函数

常用的三角函数有：

① 正弦函数y=sin x，定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]，它是奇函数、有界函数，又是周期为2π的周期函数，其图像如图1-1-9所示.

图1-1-9

② 余弦函数y=cos x，定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]，它是偶函数、有界函数，又是周期为2π的周期函数，其图像如图1-1-10所示.

图1-1-10

③ 正切函数y=tanx，定义域为，值域为（-∞，+∞），它是奇函数、无界函数，又是周期为π的周期函数，其图像如图1-1-11所示.

图1-1-11

④ 余切函数y=cot x，定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，值域为（-∞，+∞），它是奇函数、无界函数，又是周期为π的周期函数，其图像如图1-1-12所示.

图1-1-12

⑤ 正割函数y=sec x，定义域为，值域为（-∞，-1]∪[1，+∞），它是偶函数、无界函数，又是周期为2π的周期函数.

⑥ 余割函数y=cscx，定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，值域为（-∞，-1]∪[1，+∞），它是奇函数、无界函数，又是周期为2π的周期函数.

（6）反三角函数

由于三角函数都是周期函数，对于值域的每个值y，与之对应的x值有无穷多个，因此，在三角函数的整个定义域上，其反函数是不存在的，必须将它的定义域限定在某一个单调区间内，这样得到的函数就存在反函数，称为反三角函数. 下面分别在它们的一个单值分支上讨论反三角函数.

① 反正弦函数

正弦函数y=sin x在区间上单调，在此区间上存在反函数，称此反函数为反正弦函数，记为y=arcsin x，它的定义域为[-1，1]，值域为，它是奇函数，且是单调增加的函数，它的图像如图1-1-13所示.

图1-1-13

② 反余弦函数

余弦函数y=cos x，在区间[0，π]上单调，在此区间上反函数存在，称此反函数为反余弦函数，记为y=arccos x，它的定义域为[-1，1]，值域为[0，π]，它是单调减少的函数，它的图像如图1-1-14所示.

图1-1-14

③ 反正切函数

正切函数y=tan x在区间上单调，在此区间上反函数存在，称此反函数为反正切函数，记为y=arctan x，它的定义域为-∞+∞，值域为，它是奇函数，且是单调增加的函数，它的图像如图1-1-15所示.

图1-1-15

④ 反余切函数

余切函数y=cot x在区间（0，π）上单调，在此区间上反函数存在，称此反函数为反余切函数，记为y=arccot x，它的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，π），它是单调减少的函数，它的图像如图1-1-16所示.

图1-1-16

上述各反三角函数中y所在区间称为主值区间. 反正弦函数和反正切函数在主值区间内单调增加且是奇函数，反余弦函数和反余切函数在主值区间内单调减少.

2. 初等函数

定义1.1.4　由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成的且仅用一个解析式表示的函数称为初等函数.

如函数，y=ln（x2+1），绝对值函数，多项式函数Pn（x）=a0+a1x+…+anxn都是初等函数. 本书中讨论的函数基本上都是初等函数.

在工程技术中经常要用到一类所谓双曲函数的初等函数. 其定义与自然对数的底e有关，常数e为无理数，其值e=2.71828….

（1）双曲正弦函数

其定义域为实数集R，值域为R，它是在R内单调增加的奇函数.

（2）双曲余弦函数

其定义域为实数集R，值域为[1，+∞），它是偶函数，并在（-∞，0]上单调减少，在[0，+∞）上单调增加.

（3）双曲正切函数

其定义域为实数集R，值域为（-1，1），它是在R内单调增加的奇函数.

（4）反双曲正弦函数

双曲正弦函数的反函数成为反双曲正弦函数，记为y=arshx. 由双曲正弦函数的表达式容易求出反双曲正弦函数的表达式

其定义域为实数集R，值域为R，它是在R内单调增加的奇函数.

（5）反双曲余弦函数

由于双曲余弦函数y=chx是偶函数，因此其自变量x和因变量y的取值不是一一对应的，但如果把自变量x的取值范围限制在[0，+∞）上，这样，双曲余弦就有反函数，称为反双曲余弦函数，记为y=archx，并可以得到它的表达式

其定义域为[1，+∞），值域为[0，+∞），它在定义域内是单调增加的.

（6）反双曲正切函数

其定义域为（-1，1），值域为实数集R，它是在（-1，1）内单调增加的奇函数.

3. 一些常用的不等式和等式

下面给出以后学习中经常会用到一些不等式和等式.

结论1.1.1　当时，有sin x<x<tanx.

⎜⎝2⎠⎟

证　做半径为1的圆，如图1-1-17所示. 由于三角形OAB的面积<扇形OAB的面积<直角三角形OAC的面积，

故得

图1-1-17

即得

sin x<x<tan x.

结论1.1.2　，从而有|sin x|≤|x|.

证　当时，由结论1.1，有sin x<x；当时，有，所以当x>0时，有sin x<x.

由于sin x与x均为奇函数，故当x<0时，有sin x>x. 又当x=0时，有sin x=0=x.

综上有

结论1.1.3（均值不等式）　对任意n个正数a1，a2，…，an时，有

其中等号成立当且仅当a1=a2=…=an.

均值不等式的证明方法有很多，下面用数学归纳法证明.

证　当n=1时，有a1≤a1，命题成立.

当n=2时，有，命题成立.

假设当n=k时，有，

则当n=k+1时，

所以当n=k+1时，命题成立.

由数学归纳法，对于一切n不等式都成立.

还可以证明，中等号成立当且仅当a1=a2=…=an.

结论1.1.4　三角函数的有关倍角公式

sin2 x+cos2 x=1，1+tan2 x=sec2 x，1+cot2 x=csc2 x.

结论1.1.5　三角函数的和差化积公式

结论1.1.6　三角函数的积化和差公式

结论1.1.7　反三角函数的有关等式

1.1.5 极坐标简介

定义1.1.5　在平面内取一个定点O，并引一条射线Ox，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），所建立的坐标系称为极坐标系. 其中O称为极点，Ox称为极轴. 对于平面内任意一点M，用r表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，r称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数组（r，θ）称为M的极坐标（图1-1-18）.

图1-1-18

建立极坐标后，对于给定的r和θ，就可以在平面内唯一确定点M；但反过来，给定平面内的一点M，却可以找到它的无数种极坐标（r，θ）. 例如，对于任意的θ，（0，θ）均表示极点. 又如以及也都表示同一个点. 这是因为（r，θ）和（r，2kπ+θ）（k为任意整数）是同一点的极坐标. 但如果限定0≤θ<2π或-π<θ≤π，则除极点外，平面内的其他任意一点和极坐标就建立了一一对应关系.