1.6 极限存在准则和两个重要极限
本节我们介绍极限存在的两个准则——夹逼准则和单调有界收敛准则，并由此得到两个重要极限.
定理1.6.1（夹逼准则） 设数列{xn}，{yn}，{zn}满足以下条件：
（1）从某项起，即∃n0∈N+，当n>n0时，有yn≤xn≤zn；
（2）
，
则数列{xn}的极限存在，且
.
证 由
则根据数列极限的定义，对∀ε>0，存在正整数N1，当n>N1时，总有
|yn-A|<ε，
即
同理，由
则对上述ε，存在正整数N2，当n>N2时，总有
|zn-A|<ε，
即
取N=max{N0，N1，N2}，当时，条件（1）和式（1.6.1）、式（1.6.2）同时成立，则
A-ε≤yn≤xn≤zn≤A+ε，
所以数列{xn}的极限存在，且
.
夹逼准则对于函数极限也成立，即设在自变量x的同一个极限过程下，f（x），g（x）和h（x）满足以下条件：
（1）g（x）≤f（x）≤h（x）；（2）limg（x）=A，lim h（x）=A，则lim f（x）=A.
例1.6.1 求
.
解 由于
，所以
而
由夹逼准则知
作为夹逼准则的应用，下面介绍第一重要极限：
证 首先注意到，函数
对于一切x≠0都有定义. 作单位圆如图1-6-1，设∠AOB=x（弧度），过A作圆的切线与OB的延长线交于P，过B作OA的垂线交OA于C，从图1-6-1容易看出，△OAB的面积<扇形△OAB的面积<△OAP的面积，而
故有
当
时，上式各项同除以
，有
即
图1-6-1
当
时，由于cos（-x）=cos x，
，式（1.6.3）也成立.
因此，由
和夹逼准则，有
例1.6.2 计算极限
.
解
令t=kx，则当x→0时，t→0，所以
例1.6.3 计算极限
.
解
例1.6.4 计算极限
.
解 由于
令
，则当x→0时，t→0，所以
一般地，设α（x）是自变量x某一变化过程中的无穷小，即lim α（x）=0，且α（x）≠0，则在同一极限过程中，
例1.6.5 计算极限
.
解
定理1.6.2（单调有界收敛准则） 单调有界的数列必收敛. 即给定数列{xn}，若有
x1≤x2≤…≤xn≤…（单调增加）
或者
x1≥x2≥…≥xn≥…（单调减少），
且对一切n，有|xn|≤M（有界），则数列{xn}必收敛.
由定理1.2.2知：收敛的数列必有界，但有界的数列未必收敛. 现在单调有界收敛准则表明：如果数列不仅收敛，而且是单调的，那么该数列一定收敛.
单调有界收敛准则的几何解释：单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或者无限向右移动，或者无限趋近于某一个定点A，而对有界数列只可能发生后一种情况. 单调减少数列情况类似.
使用单调有界收敛准则时，我们通常考虑下列两种特殊情况.
推论1.6.1 如果数列{xn}单调增加且有上界，则{xn}必收敛.
推论1.6.2 如果数列{xn}单调减少且有下界，则{xn}必收敛.
例1.6.6 设数列{xn}满足
存在，并求其极限.
解 由题意知0≤xn≤1，n=1，2，…，因此数列{xn}为有界数列. 又
即
xn+1≤xn，n=1，2，…，
所以数列{xn}为单调减少，由推论1.6.2知
存在.
设
，在等式
两边同时令n→∞，并注意到
从而有
A=A2，
解得A=0，A=1. 又因为0≤A≤x1<1所以A=1舍去，故A=0.
下面介绍第二重要极限：
先讨论数列极限的情形：
我们只需要证明数列
是单调增加且有上界的即可.
结论1.1.3已经给出了下列不等式：对任意n个正数a1，a2，…，an时，有
且等式成立当且仅当a1，a2，…，an全部相等. 上式即为
（单调性）
由式（1.6.4）
所以数列
是单调增加的.
（有界性）
即得
由单调性知
所以对任意的n均有
即数列
有上界.
由推论1.6.1，数列
收敛，即数列极限存在，用字母e来表示. 可以证明e是一个无理数，其值为
e=2.718281828459045….
即
进一步可以通过夹逼准则及变量代换证明
指数函数y=ex以及自然对数y=ln x中的底e即为这个常数.
若在
，则当x→∞时t→0，故
所以，第二重要极限也可以变形为
例1.6.7 计算极限
.
解 令t=3x，则当x→0时，t→0，所以
例1.6.8 计算极限
.
解
例1.6.9 计算极限
.
解 令
，当x→∞时，t→∞，则
一般地，设α（x）是自变量x某一变化过程中的无穷小，即lim α（x）=0，则
注意第二类重要极限的特点：函数是幂指函数，底数为两项之和，其中第一项为1，第二项的极限为0，指数与第二项互为倒数. 这样的极限值都是e.
例1.6.9的解题过程也可以简写成
例1.6.10 计算极限
.
解
习题1-6
1. 利用极限存在的准则证明：
（1）
；
（2）数列
的极限存在.
2. 求下列极限：
3. 求下列极限：
4. 求下列极限：
