第1章 随机事件及其概率

1.1 随机事件

1.1.1 随机试验

概率论是一门研究随机现象内在规律性的数学学科. 为了研究随机现象，就要对客观要求进行观察和试验，我们把这种观察和试验统称为试验. 概率论中所研究的试验具有下列特点：

（1）可以在相同的条件下重复进行；

（2）试验的可能结果不止一个，并且在试验前能明确知道所有可能的结果；

（3）试验前无法预知哪一个结果出现.

我们把具有上述特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E. 例如，观察某射手对固定目标进行射击；抛一枚硬币三次，观察出现正面的次数；记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.

1.1.2 随机事件

在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称为事件，常用字母A、B、…表示.

例如，抛一枚均匀硬币，“正面朝上”是一个随机事件，将其记作A，简写为

A=“正面朝上”

同样地，有

B=“正面朝下”

1. 基本事件与复合事件

随机试验的每一个可能结果，它是最基本的不能再分的事件称为基本事件（或样本点），记为e.

例如，掷一枚骰子这一试验，出现“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，都是基本事件，可分别用

ei=“出现i点”（i=1，2，…，6）

表示.

在一个试验中，由两个或两个以上基本事件复合而成的事件称为复合事件.

例如，掷一枚骰子这一试验，出现偶数点是一复合事件，它是由出现“2点”“4点”“6点”，这三个基本事件复合而成的复合事件，当且仅当上述三个基本事件中的一个发生它才发生，可用e2+e4+e6表示.

2. 必然事件

在一定条件下必然会发生的事件称之为必然事件，记为S（或Ω）.

3. 不可能事件

在一定条件下必定不会发生的事件称为不可能事件，记为ø.

为讨论方便，必然事件、不可能事件作为极端情况都视为随机事件.

1.1.3 样本空间

试验E的所有基本事件构成的集合，称为E的样本空间，记为S（或Ω）.

例如，“从标号为1，2，…，10的10个完全相同的球中任取一个”为一个随机试验，记ei=“取得i号球”（i=1，2，…，10），则其样本空间

S={e1，e2，…，e10}

它的子集{e6，e7，e8，e9，e10}表示“取到的号码大于5”这一事件，{e1，e3，e5，e7，e9}表示“取到奇数号球”这一事件，……，可见，样本空间的某个子集就是一个事件，今后我们称样本空间的某个子集为随机事件.

空集ø不包含任何基本事件，在每次试验中都不会发生，称为不可能事件.

全集S作为自身的子集，包含所有的基本事件，在每次试验中必然发生，称为必然事件.

例1.1　同时掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间和事件A=“点数之和等于10”，B=“点数之和大于8”.

解　样本空间为

1.1.4 事件的关系和运算

1. 事件的关系和运算

（1）事件的包含和相等

设有事件A与B，如果A发生，则B必然发生，则称B包含A，或A包含于B，如图1.1所示，记为

A⊂B 或 B⊃A

如果事件A包含事件B，同时事件B也包含事件A，则称事件A与B相等，记为

A=B

特别地，对任一个事件A，有

ø⊂A⊂S

如图1.2所示.

（2）事件的和（并）

A与B两个事件中至少有一个发生，称这一事件为事件A与事件B的和（或并），如图1.3所示，记为

A∪B 或 A+B

类似地，可定义n个事件及可列无穷个事件的和. 若n个事件A1，A2，…，An中至少有一个发生，则称这一事件为A1，A2，…，An的和，记为

若可列无穷个事件A1，A2，…，An，…中至少有一个发生，则称这一事件为A1，A2，…，An，…的和，记为

（3）事件的积（交）

两事件A与B同时发生，称这一事件为事件A与事件B的积或交，如图1.4所示，记为

A∩B 或 AB

类似地，可定义n个事件及可列无穷个事件的积.

若n个事件A1，A2，…，An同时发生，则称这一事件为A1，A2，…，An的积，记为

若可列无穷个事件A1，A2，…，An，…同时发生，则称这一事件为A1，A2，…，An，…的积，记为

（4）事件的差

事件A发生而事件B不发生，称这一事件为事件A与事件B的差，如图1.5所示，记为

这时，各部分的表示如图1.6所示.

特别地，对任一个事件A，有

A-A=ø，A-ø=A

（5）互不相容（互斥）

若两事件A与B不能同时发生，则称事件A与事件B是互不相容（互斥）的，如图1.7所示，记为

A∩B=ø或AB=ø

类似地，若n个事件A1，A2，…，An，任意两个事件是互不相容的，即满足

当i≠j时，Ai∩Aj=ø（i，j=1，2，…，n）

则称这n个事件是互不相容的，或这n个事件是两两互不相容的.

（6）对立（逆）事件

由事件A不发生所确定的事件称为A的对立（逆）事件，如图1.8所示，记作，由定义可知

在一次试验中，A和不会同时发生，且A与至少有一个发生，因此A和满足

人们注意到，随机试验的所有基本事件都是两两互斥的，因为每次试验只能出现一个结果，任何两个不同结果都不能同时出现，但基本事件彼此未必互为逆事件. 例如，在掷一骰子的试验 中，“掷出3点”与“掷出4点”是互斥事件，但不是互逆事件，因为不掷出3点还可能掷出2点，5点，1点，6点来，因此，互斥未必互逆，但互逆必定互斥.

2. 事件的运算规律

事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，给出下列对照表1.1.

根据集合的运算性质，可推得事件的运算性质如下：

（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；

（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）；

（4）对偶律：

例1.2　在管理系学生中任选一名学生，令事件A表示选出的是男生，事件B表示选出的是三年级学生，事件C表示该生是运动员.

（1）叙述事件的意义；

（2）什么条件下C⊂B成立？

（3）在什么条件下ABC=C成立？

（4）什么条件下成立？

解　（1）是指当选的学生是三年级男生，但不是运动员.

（2）C⊂B表示全部运动员都是三年级学生，也就是说，若当选的学生是运动员，那么一定是三年级学生，即除三年级学生之外其他年级没有运动员条件下才有C⊂B.

（3）只有在C⊂AB，即C⊂A，C⊂B同时成立的条件下才有ABC=C成立，即只有在全部运动员都是男生，且全部运动员都是三年级学生的条件下才有ABC=C.

（4）表示当选的女生一定是三年级学生，且表示当选的三年级学生一定是女生. 换句话说，若女生都在三年级且三年级学生都是女生，在这样的条件下，成立.

例1.3　甲，乙，丙三人各射一次靶，记A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，C=“丙中靶”，则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：

（1）“甲未中靶”：；

（2）“甲中靶而乙未中靶”：；

（3）“三人中只有丙未中靶”：；

（4）“三人中恰好有一人中靶”：；

（5）“三人中至少有一人中靶”：A∪B∪C；

（6）“三人中至少有一人未中靶”：；

（7）“三人中恰有两人中靶”：；

（8）“三人中至少两人中靶”：AB∪AC∪BC；

（9）“三人均未中靶”：；

（10）“三人中至多一人中靶”：；

（11）“三人中至多两人中靶”：

注：用其他事件的运算来表示一个事件，方法往往不唯一，如上例中的（6）和（11）实际上是同 一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件，特别在解决具体问题时，往往要根据需要选择一 种恰当的表示方法.

例1.4　指出下列各等式命题是否成立，并说明理由.

解　（1）成立.

（2）不成立. 若A发生，则必有A∪B发生，A发生，必有不发生，从而不发生，故=A∪B不成立.

（3）不成立. 若发生，即C发生且发生，即必然有C发生. 由于C发生，故必然不发生，从而不发生，故（3）不成立.

（4）成立.