2.3 液体动力学基础
液体动力学主要研究液体流动时的运动规律问题，其内容相当广泛和复杂。这里我们主要学习运用连续性方程和伯努利方程，对液压传动系统中的压力和流量等参数进行定性分析和定量计算。
2.3.1 液体动力学的基本概念
1. 理想液体和稳定流动
既无黏性又不可压缩的液体称为理想液体。
理想液体的概念是为了简化液体动力学问题。实际上，液体既有黏性又可压缩，按理想液体的概念得出结论后，再根据实验验证的方法加以修正。
液体在流动时，若液体中任意一点处的压力、速度和密度都不随时间变化，这种流动称为稳定流动。稳定流动也是一种理想的流动状态。只要压力、速度和密度有一个随时间变化，这种流动称为非稳定流动。例如，如图2-10（a）水箱中的水位不断得到补充，水位不变，孔口出流为稳定流动；例如，图2-10（b）水箱中的水位没有补充，随流动而水位下降，则孔口出流为非稳定流动。
图2-10 稳定流动与非稳定流动示意图
2. 流线、流束
流线是某一时刻液流中各质点运动状态所呈现出的光滑分布曲线。在理想液体的稳定流动中，流线的形状是不随时间而变化的。由于一个质点在每一瞬时只能有一个速度，流线是一条条光滑的曲线，既不能相交也不能转折，如图2-11所示。
图2-11 流线示意图
通过某截面A上的所有点画出流线，这一组流线就构成流束，如图2-12所示。
图2-12 流束示意图
当流束面积很小时，称之为微小流束，并认为微小流束截面上各点处的速度相等。
3. 流量q和平均流速ν
单位时间内流过某通流截面的液体的体积称为流量。流量的法定计量单位为m3/s，常用单位有L/min，换算关系为
1m3/s=6×104L/min
假设某一微小流束通流截面dA上的流速为u，如图2-13，则通过dA的微小流量为dq=udA，通过通流截面A的流量为
图2-13 流量与平均流速
截面上各点的流速u的分布规律比较复杂，工程计算时一般不按上述积分方式计算流量，而采用平均流速的概念。假定整个通流截面A上的流速是均匀分布的，则平均流速ν为
例如，在液压缸缸筒内部，液压油流动的平均流速ν就是液压缸活塞运动的速度，由此得出液压传动中另一个重要的概念，即运动速度取决于流量，而与流体的压力等无关。
4. 流态和雷诺数
科学家通过大量的实验观察和分析发现，液体的流动具有层流和紊流两种基本流态。
观察液体流态的实验装置如图2-14所示，水箱4由进水管2不断供水，多余的水由隔板1上部流出，使玻璃管6中保持稳定流动。在水箱下部装有玻璃管6、开关7，在玻璃管进口处放置小导管5，小导管与装有同密度彩色水的水箱3相连。
图2-14 液体流态雷诺实验装置示意图
1-隔板；2-进水管；3-水箱；4-水箱；5-小导管；6-玻璃管；7-开关
实验时首先将开关7打开，然后打开颜色水导管的开关，并用开关7来调节玻璃管6中水的流速。当流速较低时，颜色水的流动是一条与管轴平行的清晰的线状流，与大玻璃管中的清水互不混杂（如图2-14（a）所示），这说明管中的水流是分层的，这种流动状态叫层流。逐渐开大开关7，当玻璃管中的流速增大至某一值时，颜色水流便开始抖动而呈波纹状态（如图2-14（b）所示），这表明层流开始被破坏，进入临界状态。再进一步增大水的流速，颜色水流便与清水完全混合在一起（如图2-14（c）所示），这种流动状态叫紊流。
如果将开关7逐渐关小，玻璃管中的流动状态就又从紊流向层流转变。
实验证明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速υ有关，还与管径d、液体的运动黏度ν有关。υ的量纲单位是m/s，d的量纲是m，ν的量纲单位是m2/s，这三个物理量按以下形式恰好组成了一个无量纲单位的数值量。
Re即雷诺数。工程上常用临界雷诺数Recr来判别液流状态。当Re<Recr时液流为层流；当Re>Recr时液流为紊流。常见的液流管道的临界雷诺数见表2-2。
表2-2 常见液流管道的临界雷诺数
对于非圆截面的管道来说，Re可用下式计算。
dH为通流截面的水力直径，它的计算公式为
式中：A——通流截面的有效面积；
χ——湿周，是通流截面上与液体接触的固体壁面的周界长度。
2.3.2 连续性方程
根据质量守恒定律，在相同时间内液体以稳流通过管内任一截面的液体质量必然相等。如图2-15所示管内两个流通截面面积为A1和A2，流速分别为υ1和υ2，则通过任一截面的流量q为
图2-15 连续流动时各截面流量相等
连续性方程应用的前提是“液体流动连续不断”。例如，江河的流量在各断面是相同的，我们观察到的就是河面宽处水流缓慢，河面窄处水流湍急，这符合连续性方程的定性分析结论，即截面积大流速小，截面积小流速大。但是，如果河道有分流或拦水大坝，上下游的流量就不相等。
【例2-3】如图2-16所示为相互连通的两个液压缸，已知大缸内径D=100mm，小缸内径d=20mm，大活塞上放一个质量为5000kg的物体G。
图2-16 相互连通的两个液压缸
问：
（1）在小活塞上所加的力F有多大，才能使大活塞顶起重物？
（2）若小活塞下压速度为0.2m/s，则大活塞上升速度是多少？
解：
（1）物体的重力为
G=mg=5000kg×9.8m/s2=49000N
根据帕斯卡原理，两缸中压力相等，即
所以，为了顶起重物，应在小活塞上加力为
（2）由连续性方程
Q=Aυ=常数
得
故大活塞上升速度为
2.3.3 伯努利定理
1. 理想液体的伯努利方程
对于理想液体的稳定流动，根据能量守恒定律，同一管道任意截面上的总能量都应相等。流动液体在理想状态下只有以下三种能量形式。
●单位重量的压力能（也称为压力水头，量纲单位为m）：
。
●单位重量的势能（也称为位置水头，量纲单位为m）：mgz/mg=z。
●单位重量液体的动能（也称为速度水头，量纲单位为m）：
。
根据能量守恒定律，各截面的三者之和等于常数，量纲单位为m，也称为总水头。即
如图2-17所示，取任意的两个通流截面A1、A2，截面上的流速分别为υ1、υ2；压力分别为p1、p2，两截面距离水平基准面高度分别为z1、z2，则
图2-17 伯努利方程简图
式（2-15）和式（2-16）就是流体力学中应用非常广泛的伯努利方程。
2. 实际液体的伯努利方程
实际液体在流动时是具有黏性的，由此产生的内摩擦力将造成总水头（三种水头之和）的损失，使液体的总水头沿流向逐渐减小，而不再是一个常数。而且在用平均流速代替实际流速进行动能计算时，必然会产生误差，为了修正这个误差，引入动能修正系数α。一般层流时α≈2，紊流时α≈1，理想时α=1。修正后的实际液体的伯努利方程为
式中：hw——能量损失，量纲单位为m，也称为损失水头。
【例2-4】如图2-18所示，计算液压泵吸油口处的真空度。
图2-18 液压泵装置
解：在利用伯努利方程时，必须选取两个截面，而且尽量选取“特殊截面”，比如压力等于0（或大气压力）的截面、位置高度等于0的截面或速度约等于0的截面等，以简化求解的过程。设泵的吸油口比油箱液面高h，取油箱液面Ⅰ-Ⅰ和泵进口处截面Ⅱ-Ⅱ列出伯努利方程，并以I-I截面为基准水平面。则有
式中：p1=pa，υ1≈0，Δpw=ρghw，将上式整理得出
Δpw是两液面间的压力损失。
由上式可以看出，组成泵吸油口处的真空度的三部分都是正值，这样泵的进口处的压力必然小于大气压。实际上，泵在吸油时，是液面的大气压力将油压进泵里的。
泵吸油口的真空度不能太大，否则如果达到液体在该温度下的空气分离压，溶解在液体内的空气就要析出，造成吸入不充分。因此，一般采用较大直径的吸油管，泵的安装高度通常位于液面上方不大于0.5m。