命题I.21

以三角形一边的两个端点向三角形以内引两条相交线，那么交点到这两个端点的这两条线段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的角大于三角形同侧的内角。

设：BC为三角形ABC的一条边，从端点B、C，作线段BD、DC。

求证：BD、DC的和小于三角形的另两条边BA、AC的和，所夹的∠BDC大于∠BAC。

延长BD和AC交于Ε点。

因为：在三角形中任意两边的和大于剩余的一条边（命题I.20），那么，在三角形ABΕ中，边AB、AΕ的和大于BΕ。

令：分别相加ΕC，于是BA、AC之和大于BΕ、ΕC之和。

又，在三角形CΕD中，CΕ、ΕD两边的和大于CD，令分别相加DB，于是，CΕ、ΕB的和大于CD、DB的和。

而BA、AC的和已证明大于BΕ、ΕC的和。

所以：BA、AC的和大于BD、DC的和。

又，因为在三角形中任意外角大于与它不相邻的任何一个内角。（命题I.16）。

于是：在三角形CDΕ中，外角∠BDC大于∠CΕD。

同理可证：在三角形ABΕ中，其外角∠CΕB大于∠BAC。∠BDC已被证明大于∠CΕB。

所以：∠BDC大于∠BAC。

所以：以三角形一边的两个端点向三角形以内引两条相交线，那么交点到这两个端点的这两条线段的和小于三角形余下的两条边的和，所形成的角大于三角形同侧的内角。

证完

注解

在欧几里得以前，派帕尔斯及其他数学家已经注意到，在一个三角形中，如果直线不是从一条边的末点作出，那么所作直线之和可能大于余下的两边之和。事实上，其和可以大到三角形最长边的两倍。

本命题应用在命题III.8中。