命题I.20

在任何三角形中，任意两条边的和大于第三边。

设：ABC为任意三角形。

求证：在三角形ABC中，任意两边的和大于剩余的一边。即BA、AC的和大于BC，AB、BC的和大于AC，BC、CA的和大于AB。

令：延长BA至D，使DA等于CA，连接DC。

既然DA等于AC，∠ADC等于∠ACD（命题I.5），那么：∠BCD大于∠ADC（公理I.5）。

又，在三角形DCB中，∠BCD大于∠BDC，大角对大边（命题I.19）。所以：DB大于BC。

又，DA等于AC；所以BA、AC的和大于BC。

同理：可以证明AB、BC的和也大于AC，BC、CA的和大于AB。

所以：在任何三角形中，任意两条边的和大于第三边。

证完

宋刻《九章算术》书影

《九章算术》约成书于公元前1世纪，其中有些数学内容可追溯到周代，《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程中就有一门“九数”。刘徽称《九章算术》就是从“九数”发展而来。《九章算术》采用问题集的编纂方式，全书共246个问题，分为九章，依次为：方田、粟米、分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。

注解

本命题为“三角形不等式”，部分的陈述表明：在两点间，最短的路径是线段。这一命题与命题I.15一起，允许我们解决最小距离的问题。假定两个点A和B位于线段CD的同一边，现在要求出A到线段CD的最短距离，假定为某个点P，然后再求出P到B的最小距离。

本命题应用在以下两个命题中，并应用在卷3的几个命题及命题XI.20中。