命题I.13

两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°。

设：在直线CD上的任意一条射线BA，形成∠CBA及∠ABD。

求证：∠CBA、∠ABD要么是两个直角，要么互补。

如果∠CBA等于∠ABD，那么它们一定是两个直角（定义I.10）。

如果不是，从B点作BΕ，使之垂直于CD（命题I.11），那么∠CBΕ、∠ΕBD是两个直角。

那么既然∠CBΕ等于∠CBA加∠ABΕ的和，那么∠CBΕ、∠ΕBD的和也等于∠CBA、∠ABΕ、∠ΕBD的和（公理I.2）。

又，既然∠DBA等于∠DBΕ、∠ΕBA的和。

那么：∠DBA、∠ABC的和等于∠DBΕ、∠ΕBA、∠ABC的和（公理I.2）。

同理可证：∠CBΕ、∠ΕBD的和也等于同样三个角的和，等于同量的量彼此相等（公理I.1）。

所以：∠CBΕ、∠ΕBD的和也等于∠DBA、∠ABC的和。

且∠CBΕ、∠ΕBD的和为两直角，所以∠DBA、∠ABC的和亦为180°。

所以：两条直线相交，邻角是两个直角或者相加等于180°。

证完

注解

本命题讨论几何量的相加。

本命题被利用在以后的几个命题中，并应用在卷4和卷6。