命题I.12

经过直线外的一点可以向直线作垂线。

设：AB为已知直线，C点为给定的点。

求作：C点可以向AB作垂线。

在直线的另一边任取一点D，以C为圆心，CD为半径作圆ΕFG（公设I.3）。

AB与圆C交于G、Ε，作GΕ的中点H（命题I.10），连接CG、CH、CΕ（公设I.1）。

那么我说：CH便是C点向线段AB作的垂线。

因为：GH等于HΕ，HC是公共边，GH、HC分别等于对应边ΕH、HC；底边CG等于底边CΕ。

所以：∠CHG等于∠ΕHC（命题I.8），且它们为相邻角。

当一条线与另一条线相交形成邻角时，两角相等，皆为直角。这条线被称为另一条线的垂线（定义I.10）。

所以：CH是从C点向AB线引的垂线。

所以：经过直线外的一点可以向直线作垂线。

证完