2.2 构建指数的方法★★★

根据权重的计量方法不同，股票指数分为：

·价格加权指数（price-weighted index）。

·等权重指数（equal-weighted index）。

·市值加权指数（market capitalization-weighted index）。

·流通市值加权指数（a float-adjusted market capitalization-weighted index）。

·基本面加权指数（fundamental weighting index）。

2.2.1 价格加权指数

价格加权指数（price-weighted）是把指数中的每只股票的市场价格加起来，然后再除以指数中所有股票的数量。这一指数构建的前提是假设指数中每只成分股被购买了相同的数量。我们可以计算该指数期初和期末的数值，便能进一步求得该指数在一期内的收益率表现。

李老师说

所谓价格加权，就是把所有的股票价格加起来，除以对应的股票数量。假设一个指数只有3只股票，A、B、C。一年前它们对应的价格为5元/股、10元/股、15元/股。现在它们的股价分别为10元/股、15元/股、20元/股。那么一年前的平均价格为（元/股），现在的平均价格为（元/股），说明这个指数一年涨了50%。假如人为设定一年前10元/股的时候指数点位为1000点，那么对应现在的15元/股，指数点位为1500点。

价格加权指数的优点在于此方法计算简单，便于操作。但它也存在缺点：我们在计算指数时，天然赋予了高价股更多的权重。那么即使个股波动幅度相同，高价股对指数的影响也远大于低价股的影响，这样就出现了指数倾向于高价股的偏差。

当股指成分股发生拆股时，我们应对应调整股指计算公式分母中股票的数量。因为拆股本身并没有改变股东财富，所以其变化对股指的影响应当被剔除。因此我们价格加权指数的最终表达式如下：

价格加权指数=股票价格加总拆股调整后的股票数量

价格加权指数在实务中被广泛运用，比如我们熟知的道琼斯工业指数就是采取这种方法构建而成的。

李老师说

假设某指数中包含3只股票A、B、C，它们的价格分别为1元/股、2元/股、100元/股。如果C公司当年发生了拆股（此前的1股拆成2股），那么现在C的股价就变成了50元/股。因为拆股本身对价格加权没有什么影响，所以股指在拆股前后应当没有变化。又因为价格加权指数在拆股前为，在拆股之后变成，所以我们令，那么就可以求得拆股之后的成分股股票数量（即公式中分母“？”对应的数值）。计算后续价格加权指数就使用调整后的分母数值。记住，每发生一次拆股，就要相应调整一次公式中分母的数值。

【例题】

价格加权指数现已知3家公司A、B、C，2016年年末的股票价格分别为100美元/股、200美元/股、500美元/股，2017年年末3家公司的股票价格分别为200美元/股、260美元/股、390美元/股，计算1年内价格加权指数的回报率。

解答：

【例题】价格加权指数在股票拆分发生时对成分股股票数的调整

已知股票X、Y、Z的收盘价为5美元/股、15美元/股、105美元/股。其中，公司Y在收盘后宣布进行1股拆2股的拆分，那么在计算指数时，应该使用的分母是多少？假设除了拆分外，并无其他因素影响股票Y的价格。

解答：

收盘时价格权重指数的值为，股票Y收盘价格为105美元/股，那么股票Y在拆分后的价格为（美元/股）。计算指数的分母需要进行调整，以保证指数的数值在除了股票拆分之外股票价格没有其他变化的情况下维持在41.6。假设新的分母为d，那么，，所以d≈1.74。

2.2.2 等权重指数

由于价格加权指数计算方法中价格权重会对高价股产生偏差，于是我们就引入了等权重指数以消除高价股过高权重的影响。等权重指数给予了所有成分股相同的权重，即假设每只成分股都购买了相同的金额。

与价格加权指数相似，等权重指数主要的优点也是计算简单，便于操作。然而，等权重指数的缺点较多。首先，指数中小盘股的股价波动相较于大盘股会更为频繁。这是因为小盘股市值小，受到的影响比较多。因此在等权重指数中存在小盘股偏差，指数更多地反映了小盘股的表现情况。其次，我们需要经常对组合内的股票权重进行调整，因为一旦组合内的股票价格变化，其在组合中的权重也就随之改变。这时我们就要通过买卖股票对其权重进行调整，以保证调整之后组合内各成分股都被购买了相同金额（权重相等）。

李老师说

假设指数包含3只股票A、B、C。在t=0时刻它们对应的股价分别为1元/股、2元/股、100元/股。在t=2时刻，它们的股价变成了2元/股、2元/股、100元/股。先分别算出3只股票的收益率RA、RB、RC，即RA=100%，RB=0%，RC=0%。在这种方法下，指数对应的相应值为。

假设3只股票在t=0时刻，价格为1元/股、2元/股、100元/股。在t=1时刻，价格为1元/股、2元/股、200元/股。我们分别求得RA=0%，RB=0%，RC=100%。在这种权重算法下，指数相应的数值为。

从这个例子可以看出，等权重法下，高价股对指数的影响完全被剔除掉了。因为在此方法下，看重的不是成分股票价格的绝对变化量，而是其相对收益率。

我们在数量里学过，计算平均收益时，存在两种方法：算术平均法（arithmetic mean）和几何平均法（geometric mean）。延续上述A、B、C的股票例子，算术平均法下，A、B、C的平均收益为：，而在几何平均法下它们的平均收益为：（1+RA）×（1+RB）×（1+RC）=（1+R）3。

两种平均方法计算等权重指数的实质都是对成分股票的收益率取平均数。

·算术平均法：xi代表每一只股票的收益。

·几何平均法：

等权重法也称作无权重法（un-weighted），因为每只股票权重一样也就无所谓权重了。

几何平均法计算出来的指数值永远小于算术平均法计算出来的指数值。

李老师说

如果在考试时忘记几何平均法和算数平均法计算出的平均值谁大谁小，那么可以现场假定两个收益率，算一下两种方法下的平均值进行比较。

【例题】等权重加权指数

现已知3家公司X、Y、Z，2016年年末的股票价格分别为100美元/股、200美元/股、390美元/股，2017年年末3家公司的股票价格分别为200美元/股、260美元/股、500美元/股，计算1年内等权重加权指数的回报率。

解答：

我们需要先计算1年内股票价格的变动率：

2.2.3 市值加权指数

虽然等权重法消除了价格权重法下的高价股影响偏差，但是它又引入了小盘股影响偏差。小盘股的股价相比大盘股股价的波动会更剧烈，所以小盘股的收益率变化比较大，它对指数的影响也就较大。

为了消除等权重法下引入的小盘股影响偏差，我们引入第三种指数，叫作市值加权指数（market-capitalization index）。中国A股指数的计算使用的就是市值加权法。此方法给予小盘股的权重也会相应小一点，因为小盘股的市值比较小。而大盘股的权重会大一点，因为它的市值相对较大。这样就消除了等权重法受小盘股影响的偏差问题。

李老师说

假设一个指数中包含3只股票A、B、C。在t=0时刻，它们的股价分别是5元/股、10元/股，15元/股。它们对应的在外发行的份额为A股票100股，B股票1000股，C股票10000股。在t=1时刻，A、B、C的股价变成了10元/股、15元/股、20元/股。在外发行份额没变。t=0时刻的总市值为：5×100+10×1000+15×10000，t=1时刻的总市值为：10×100+15×1000+20×10000。假设t=0时刻的点位为1000点。那么t=1时刻的市值对应的点位为多少呢？可以这样计算：，通过求解“？”，就可以求t=1时刻的点位。

市值加权指数中各成分股的权重等于当前单只股票市值除以指数中所有股票的总市值。其中，股票市值等于该股票发行在外的总股数乘以其当前的市场价格。

相比价格加权法，市值加权指数的优点在于其不用对股票的分拆或者股票股利的发放进行调整。此外，指数中股票权重的确定是依据它的市值，这种确定权重的构建方法能更好地反映所有投资者的财富持有情况。

市值加权法虽然消除了等权重法下小盘股的偏差，但是引入了新的偏差，即不能自由交易的股票（non-tradable stock）带来的偏差。因为市场上有些股票是限售股，它们并不能在市场上自由交易，没有交易就不会产生价格变化，所以这部分股票不会对股价的变化造成影响。

2.2.4 流通市值加权指数

流通市值加权指数中各成分股的权重根据其在外发行股份的流通性进行调整。市场流通股份是指可以在市场中被投资者实际交易的股份，因此它并不包含被公司控股股东控制的部分。该指数构建方法能更好地反映出实际能被投资者投资的市值部分。此外，流通市值通常也会排除那些被公司或者政府持有的部分。有时候，流通市值的计算还会剔除外国投资者不能投资的市值部分。剔除了以上部分剩余所得的流通市值被称为自由流通市值。

流通市值加权指数中各成分股权重的计算方法是基于投资者可投资的股票市值占指数中所有对于投资者可投资股票市值的比率的大小。

市值加权法（包括流通市值加权法）的主要优点：指数中成分股是按照其占目标市场总市值比例所持有的。而这类方法的缺点是：组合中个股回报对指数的影响会随其股价上升而上升，因为其市值会随着股价的上升而上升。同理，个股回报对指数的影响会随股价的下跌而下降。这就意味着那些市值高估的股票往往被赋予了不合理的高权重，而那些被低估的股票往往被赋予了不合理的低权重。这种权重的影响类似于趋势投资策略。在这种策略下，随着时间的推移，价格上升较快的股票往往在指数中占有很高的权重。

2.2.5 基本面加权指数

基本面加权指数使用公司财务报表上的基本面数据来设置权重，该权重设置方法旨在试图解决市值加权法中权重设定过于依赖证券价格的缺点。用于计算权重的基本面指标包括公司账面价值、现金流、收入、盈利等。基本面权重法确定权重时可以依据一个基本面信息（如股息），或者依据多个基本面信息。

基本面加权指数避免了市值权重指数受到被高估股票影响的偏差，但同时又引入了新的偏误——基本面指标偏误。以收益率为例，如果组合中成分股的收益率高于整个组合的平均水平，那么它在该指数中的权重就比较大。

李老师说

股票，我们可以将其分成价值股（value）和成长股（growth）两种类型。投资者持有股票的收益来源有两个方面：一是分红（dividend）；二是股价的增长（capital gain）。通常不会出现分红高，股价增长也高的股票。

企业可以选择以下两种方式来分配处理其净利润：给股东发放分红；留下来继续投资，寻找新的利润增长点。分红较高的公司，能留存下来继续扩大发展的留存收益自然就少了，于是对应的未来收益就少了，股价增长就少了。反之，如果企业不分红，那么留存收益就高，这样的企业就能进行更多的投资，获取更多的利润增长，于是股价增长也高。通常比较成熟的公司分红较高，因为它的发展已经相对成熟，不需要太多的留存收益扩大生产，于是会进行分红。而小公司留存收益较多，以备日后进行更多的投资。但较多留存收益究竟能不能转化成股票的价格增长取决于公司的经营，所以小公司股票的风险往往会大一点，而成熟公司股票的风险会小一点。

如果一家公司分红比较高，或者利润比较高，我们就称其股票为价值型股票。如果我们看中一家公司股票的价格增长，那我们称其股票为成长型股票。两种股票代表了投资的两种风格。由于基本面权重法以分红和利润为依据定权重，所以价值型股票权重大，成长型股票权重小，于是这种方法构建出来的指数就会很像价值型指数，也就产生了价值倾斜（value-tilts）偏差。

2.2.6 重新调整和重新构建

重新调整（rebalancing）是指股票价格的变动会促使其在指数中的权重偏离之前设定好的目标值。一旦偏离出现，我们就需要对其进行调整，使偏离的权重恢复至目标值。调整目标权重这一过程通常是定期进行的，以一季度为一期。重新调整要通过买卖股票实现，而买卖股票是有成本的，调整太过频繁是不合理的。

对于价格权重指数以及市值权重指数，股票的权重会因为股票价格的变化自动调至它们应有的数值。所以重新调整基本上就是针对等权重指数。对于等权重指数而言，由于股票价格有升有跌，股价一变，权重就会发生变化，因此需要频繁地进行重新调整以恢复目标权重。

李老师说

上述5种确定权重的方法，哪一种方法构建的指数需要引发调整的频率最高？在价格权重法下，我们假定每只股票购买了相同的份额，不管价格怎么变，初始份额比例都不会变，所以此指数不需要重新调整。市值权重法（market-capitalization）下，股价涨了，对应的市值就涨，市值涨了，对应的权重自然就会变化，所以也不需要调整。而在等权重法下，我们假设每只股票买相同的金额，除非所有的股票价格等比例变化，否则只要有股票价格变化，它们的权重就会变化。所以在等权重法下，需要重新调整的频率最高。

指数的重新构建（reconstitution）是指定期增加和删除指数里的成分股票，重构指数内的股票组成。重新构建是重新调整的一部分。如果之前的成分股票不再满足指数成分股的选择要求，不具备指数的代表性了，那么就将其删除，同时加入其他满足要求的股票代替。指数重组可以反映目标市场的变化（如破产、退市、合并、收购等）或反映评选委员会的判断。