1.2 解决问题的三个层次

很多数学分支都有悠久的历史，并形成了一套自己的数学符号和语言．但解决问题并没有固定的模式和套路．在这里，我们使用战略、战术和工具这三个词来诠释解决问题的三个不同层次．这三个词并没有标准的定义，因此准确理解它们的含义就显得非常重要．

登山的策略

当你站在山脚下观察如何登山时，第一步要考虑的战略就是先登上这座山旁边的几座小山，从不同的角度观察你所要爬的山．然后，你可能会考虑一个更具体的战略，或许可以尝试通过一个特定的山脊来登山．接下来就要考虑一些战术问题了，即怎样切实有效地执行战略．比如，你所选定的线路是从山的南面登山，但途中有一片雪地和一条河流，那么你就需要制定不同的战术来战胜这些阻碍．比如说越过雪地，你可以选择早晨雪地最硬的时候通过．而要渡河，则需要在河岸边观察最安全的渡河地点．最后，我们需要考虑与登山最直接相关的技术问题，即完成特定的任务所需要具备的特定技能——工具．比如，要想通过雪地，我们需要装备安全带和凿冰斧．要渡过河流则需要用绳子绑在你的腰上，再由同伴在河岸边拉着你，使你能在河水冲击下保持平衡，这些都是特定的工具技术．你不能因此总结说登山只需要安全带、凿冰斧，与同伴相互搀扶就可以了．虽然这些是必要的，但只是你登山的一小部分工作而已．相反，需要总结的是你的战略思想，有时也包括一些战术思想．例如你可以这样总结：我们决定从南面登山，途中需要越过一片很难通过的雪地和一条危险的河流才能到达山脊．

我们登山时遇到的阻碍，有一些比较容易解决，就像是你做练习题似的（当然，这也需要取决于登山者的能力和经验）．但是有些阻碍则很难解决，一旦解决则整个登山过程就非常顺利了．例如，所选择的登山路径大部分都比较容易攀登，但有一段大概3米长的路径则非常陡峭光滑很难通过．登山者通常把这种最关键的阻碍称为“关键点”．我们也可以把这个词用在解决数学问题上．在战略、战术、工具三个层次中都可能有关键点，有些问题有几个关键点，许多问题没有关键点．

从登山到数学

我们将解决数学问题的思想和登山的策略做个比较．拿到问题，你不一定能马上解决，要不然就不能称之为问题，而只是个练习题了．首先你要有一个对题目进行分析的过程，这种分析有很多方式．最糟糕的方式是随意地用你能想到的各种方法进行试验．如果你的想象力足够丰富且掌握的方法很多，通过花费大量时间，也许最终能解决问题．但作为一个初学者，最好还是要培养自己形成一套系统的解决问题的思维方法．首先要从战略上进行思考，不要想着马上就能解决问题，而是在一个不那么专注的层面上思考问题．从战略上思考的目的就是得到这样一个计划：它可能几乎没有数学内容，但能够帮助我们解题，这正如登山的战略：“如果我们到达了南坡，我们好像就能到达山顶．”

战略上的思考有助于我们开始解决问题并继续做下去，但这只是我们需要做的实际工作的提纲，具体的工作就是如何从战术和工具两个层次来完成既定战略．

我们通过下面的例子（1926年匈牙利竞赛题）来说明如何从三个层次来解决问题．

例1.2.1　证明四个连续的自然数的乘积不可能是整数的平方．

解答　首先让我们从战略上理解题目的意思，即如何着手．我们知道这是一道证明题．问题通常有两种类型——证明题和解答题．户口调查员问题（例1.1.3）就是后一类解答题．

接下来，通过观察我们发现问题要求证明某一结果不会发生．我们将问题分成假设（也称为“条件”）和结论（无论是哪种类型的问题都可以这样分）．这个问题的条件是：

n是一个自然数．

结论为：

n(n+1)(n+2)(n+3)不可能是某一整数的平方．

将问题的条件和结论明确地叙述出来是非常有必要的，因为在很多问题中，条件和结论并不是显而易见的．在这里我们将引进一些符号，有时对符号的选择非常关键．

也许你会将注意力集中在结论上：怎样才能够使某一个整数不是平方数？这是一种战略思考，即考虑马上能直接得到结论的前提条件，我们称之为倒推法．但你会发现，我们很难找到一个标准来表达某一个数不是一个平方数，所以我们需要考虑另一战略．对任何问题，入题最好的一种战略是化抽象为具体．解决问题最好的习惯就是把思考过程记在稿纸上．我们尝试着代入几个具体的数，也许可以从中发现某些规律．让我们给n设定几个不同的值，令f(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)，见下表f(n)的值．

你注意到了什么？问题中提到平方数，所以我们观察表格中是否有平方数，我想大家都会发现表中f(n)的前两个值都是某一整数的平方减1，接着验算发现：

f(3)=192−1,f(4)=292−1,f(5)=412−1,f(10)=1312−1.

我们大胆地猜测：对任意自然数n,f(n)都为某一个整数的平方减1．证明这一猜想就是我们所要寻找的倒数第二步．因为任何等于某一整数的平方减1的正整数不可能是另一整数的平方．既然1, 4, 9, 16等平方数中不包含连续整数（平方数与平方数之间的差值越来越大），因此我们新的战略就是证明这一猜想．

为实现这一战略，我们还需要从战术和工具层面考虑问题，我们希望能证明对所有的n,n(n+1)(n+2)(n+3)的乘积都是某一个整数的平方减1，即n(n+1)(n+2)(n+3)+1是某一个整数的平方．但用什么代数式表示这一平方数呢？这样，就需要从战术上考虑表达式的形式．我们要熟练掌握这种表达式，要时刻记住我们的目标是要得到一个平方数，注意到n和n+3的乘积与n+1和n+2的乘积几乎相等，其中前面两项的乘积为n2+3n．重新组织这个表达式，有：

我们不把括号中的两项相乘，而是将其凑成平方差公式：

(n2+3n)(n2+3n+2)+1=((n2+3n+1)−1)((n2+3n+1)+1)+1.

现在我们使用平方差公式工具得到：

((n2+3n+1)−1)((n2+3n+1)+1)+1=(n2+3n+1)2−1+1

=(n2+3n+1)2.

这样对于所有的n，将f(n)表达为某一整数的平方减1的形式，即：

f(n)=(n2+3n+1)2−1.

这样我们就完成了证明．

我们再回过头从解决问题的三个层次来分析这个问题，开始的战略是定位，仔细阅读问题并确定该问题属于哪一类型，然后利用倒推法分析答案的倒数第二步以决定解题的战略，开始，我们并没有成功．接着我们是通过代入数值进行验算然后对结果进行猜测的．但要想证明这一猜测还需要一些战术和工具，如交换连乘项的次序、凑成平方差公式等．

解决问题最重要的是战略层次的思考，在这一题中提出上述猜测是解题的关键．从这点而言“问题”就已经转化为“练习”了！但熟练地使用战术也是很重要的，否则你仍旧很难解决问题．该题的另一解法为替代法：在式(1.2.1)中令u=n2+3n，则上式的右边变成u(u+2)+1=u2+2u+1=(u+1)2．第三种解法是全部乘出来，有：

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n4+6n3+11n2+6n+1.

如果该式是某一整数的平方，则一定是二次多项式n2+an+1或n2+an−1的平方，将第一个多项式代入，有：

n4+6n3+11n2+6n+1=(n2+an+1)2=n4+2an3+(a2+2)n2+2an+1，

可得a=3满足该式．因此n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2．该方法虽然没有第一种方法优雅，但仍是个很不错的方法，因为该方法使用了一个非常有用的数学工具——待定系数法．