第1章 本书的内容及阅读方法

1.1 “练习”与“问题”

这是一本介绍解决数学问题方法的书，我们假定本书的读者为以下三类人：

• 喜欢数学；

• 已经很好地掌握了高中数学的内容，并且至少已经初步学习了高等数学的内容，如微积分和线性代数；

• 希望进一步提高解决数学问题的能力．

首先，什么是“问题”？我们需要将“练习”与“问题”区分清楚．“练习”是你理解且可以立即解决的问题，练习的解答是否正确取决于你对特定技巧掌握的熟练程度，但你却从不用去琢磨究竟应使用何种技巧．相反，“问题”是需要做深入思考和丰富资料收集才能找到正确方法的题目．例如，下面是一道练习．

例1.1.1　请不使用计算器计算54363.

毫无疑问，你知道如何计算——只要仔细地连乘两次就可以了．而下面这个问题则深奥得多．

例1.1.2　将

表示成最简分数形式．

乍一看，这只不过又是一个毫无新意的练习题，因为你可能认为只要将所有的99项加起来就可以得到正确答案了．但是你稍微观察一下题目就会发现一个很有趣的现象，我们首先将前几项加总化简后发现：

因此，可以猜测：对于所有的正整数n，

这样，就提出了一个“问题”：这个猜测是否正确？如果是，又该如何证明？如果你曾经做过类似的问题，并会应用数学归纳法（参见第43页），那么这一题对于你来讲也仅仅是一个“练习”而已了．但如果我们从没见过这类题型，那么这一题对我们来说就是一个“问题”而不是“练习”了．我们可能就需要花大量的时间尝试不同的方法来解决该问题，问题越难，需要花的时间越多，第一次尝试通常会失败，而有时多次尝试都会失败．

下面这个例子是非常有名的“户口调查员问题”．少数人认为这是个“练习”，对于大多数人来说，这是个“问题”.

例1.1.3　一个户口调查员敲开一户人家的门，并询问屋内的妇女有几个小孩，孩子们都多大了．

该妇女答道：“我有三个女儿，她们的年龄都是整数，并且她们年龄的乘积等于36.”

“这些信息还不够算出你女儿的年龄．”户口调查员回答道．

“我就是告诉你她们年龄的总和，你还是不能算出她们的年龄．”

“我希望你能告诉我更多的信息．”

“好吧，我大女儿安妮喜欢狗！”

请问：从这段对话中，户口调查员能计算出该妇女三个女儿的年龄吗？

初看这个题目，觉得要想得到答案似乎是不可能的，因为题目中好像没有提供足够的信息来解决问题．这就是为什么我们认为这是一个“问题”，但这个问题的确很有趣．（如果你仍旧比较迷惑，可以看本章结尾处第11页的答案．）

如果你认为户口调查员问题太简单，那么请看下一题（答案见第71页）.

例1.1.4　有一次，我请了10对夫妇来我家参加宴会，我问所有参加宴会的人（包括我妻子在内）他们和多少人握过手，结果得知每个人的握手次数都不相同，当然我没有问自己．假定没有人与自己的配偶握手，也不考虑每个人自己同自己握手，那么请问我妻子与多少人握过手？（我没有问自己任何问题．）

一个好的问题应该是神秘而有趣的．它之所以神秘是因为一开始你并不知道如何解决它，如果一个问题缺乏趣味性，你就不会愿意去思考，但如果问题非常有趣的话，你一定会愿意花费时间和精力去解决它．

这本书将有助于你去分析和解决问题！如果你缺乏解决问题的经验，那么碰到一个难题时，你会很快放弃努力，这是因为：

• 也许你根本就不知道该从何着手；

• 也许你已经做了些初步工作，但不知道该如何继续；

• 也许你试过一些方法但都失败了，于是你放弃了．

相反，一个有经验的解题者，则知道怎样入手，他或者她会非常有信心地用各种方法来分析问题，虽然他使用的某些方法不一定能解决问题，但至少能得到一些结果．最终，在花费了一定的时间之后，他终于解决了问题．概括地说，一个有解决问题经验的人会从如下三个不同的层次考虑问题：

战略层次：掌握如何入手并分析问题的数学思想与心理策略；

战术层次：掌握解决问题的不同阶段所使用的数学方法；

工具层次：对特定的情形，注重特定的技巧和“窍门”.