3 斜边的平方：毕达哥拉斯定理

许多学习数学的学生在数学课上碰到的第一个名字就是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯定理宣称，在直角三角形（即有一个直角的三角形）中，两条直角边（以a与b记之）的平方和等于斜边（c）的平方。形如a2+b2=c2的这一公式为千百年来的代代学生们所牢记。

毕达哥拉斯定理如此著名，以至于它经常在人们喜闻乐见的文化形式中出现。在电影《绿野仙踪》中，魔法师向稻草人颁发了一纸毕业证书之后，后者令人印象深刻地胡诌了一通该定理，口中宣称：“一个等腰三角形任何两边的平方根之和等于第三边的平方根。哦，太高兴了，真幸福啊，我可真是绝顶聪明哦！”而在吉尔伯特和苏里万的音乐剧《潘赞斯的海盗》中，少将先生则显示了对数学更高水准的掌握，他唱道：“我在数学方面也很在行……我通晓许多关于斜边平方的美妙事实。”

毕达哥拉斯是何许人也，他在以他命名的定理上有何贡献呢？人们发现，答案相当复杂。非常可能的是，毕达哥拉斯既没有发现也没有证明“他的”定理。早就该给这一定理一个更准确的名字了。

毕达哥拉斯大约在公元前569年生于遥望爱奥尼亚（现属土耳其）海岸的萨摩斯岛上。根据传说，他花了多年时间在埃及吸收古哲人的知识；为了同样的目的，或许他也曾在巴比伦王国，甚至也曾在印度多年（如果你成了传奇人物，那就什么都有可能）。回国后他旋即永久移民于意大利城邦克罗托内。他在那里创建了一个人称毕达哥拉斯学派的秘密社团。该社团在一段时间内统治了克罗托内的文化与城市生活。

作为一个个人崇拜的秘密组织，毕达哥拉斯学派的行为不算很乖张。毕达哥拉斯鼓吹节欲、尊长和教育这些方面的美德。当时的社会信仰的神祇都在不断与人通奸，而他却主张一夫一妻制，这种主张必定震惊了社会。他禁止人们食用动物的肉，因为在一头动物中或许便隐藏着朋友或者祖先的灵魂。此外他还禁止人们食用豆类，或许是因为人类的灵魂也可能会移居于这些植物之中。

总而言之，人们或许可以将毕达哥拉斯视为一位相当典型的个人崇拜组织的魅力领袖。但至少对于科学史学家来说，让毕达哥拉斯学派独树一帜的是，人们认为他们扮演了希腊的传统数学和哲学创始人的角色。毕达哥拉斯认为，世界万物都是由数字统治的。

毕达哥拉斯的哲学中包括大量数字命理学，即按照数字推断人的命运的学问，其中有一些在现代人眼中看上去十分可笑。例如，奇数被认为与男性有关，而偶数与女性有关。但毕达哥拉斯学派对数字的迷恋的确让他们得到了一些概念，这些概念至今还与现代数论的一些课题直接相关。例如，他们发现了他们称之为“完全数”的数字，也就是那些等于自己全部真因子之和的数字。最小的两个完全数是6（6=1+2+3）和28（28=1+2+4+7+14）。在笔者落笔时，已知的完全数共有47个，随着计算机发展速度的日益加快，每隔几年就会发现新的完全数。

一个更富成果的概念是质数概念。质数是那些只能被自己本身和1整除的数字。最小的几个质数是2，3，5，7和11。不是质数的数叫作合数，例如6是两个质数的积：6=2 × 3。

没有质数的数论将会是一个相对贫瘠的学科。有了质数，数论的吸引力无穷无尽。然而，质数在整数中间分布的细节至今还是一个不解之谜。古希腊数学家证明了质数的数量是无限的。质数既可以用来求解整数方程，也可以用来证明某些这样的方程无解；我们将在后面讨论费马最后定理的那一章中看到，这一定理只不过是其中一个例子。最后，质数对现代密码学至关重要。现代密码学很大的一部分基于如下理念：对于一个很大的合数，比如一个有几百数位的合数，找到它的质因子十分困难。

人们认为归功于毕达哥拉斯学派的数学发现中包括如下几个：毕达哥拉斯定理；而且或许更为重要的是该定理的一项证明；音乐中的一项原则，即形成和弦的振动频率有简单整数比，例如形成八音度的振频比率为2：1、形成五度和音的振频比率为3∶2、形成四度和音的振频比率为4∶3等；认为行星的运行也是由类似的整数比控制的——根据传说，毕达哥拉斯能够真的听到行星产生的和音，即所谓“星球音乐”；最后还有无理数的存在。

这些说法靠不靠谱呢？

首先，尽管有关毕达哥拉斯的事迹我们能够绝对肯定的很少，但其中一件就是，在上述五大发现中，毕达哥拉斯定理不是毕达哥拉斯发现的。一块人称普里普顿322的著名巴比伦书板可以大致断代为公元前1800年；这块书板上包括一系列可以构成直角三角形三边的整数如3-4-5、5-12-13等（只要简单地动手一试，你就会发现32+42=52、52+122=132），我们现在称之为毕达哥拉斯三数组。而据说毕达哥拉斯曾在巴比伦学习过，所以我们可以推断，他是在那里得知所谓毕达哥拉斯公式的。

如果毕达哥拉斯实际上发现了毕达哥拉斯定理的一项证明，即他能从基本原理出发证明对于一切直角三角形来说a2+b2=c2都成立，那么事情就有趣得多了。巴比伦人和埃及人显然对这种数学推导不感兴趣；在他们至今存世的文稿中擅长的是过程，但解释短缺。（对于巴比伦人来说，所谓解释就是：“看仔细了，这事儿已经干成了，”随之便是“赞美尼沙巴！”）

在毕达哥拉斯之后的两个世纪中，古希腊人确实发展了一个世界数学史上史无前例的丰富的推导数学传统，其登峰造极之作是欧几里得约于公元前300年撰写的《几何原本》。《几何原本》第一部中包括了对毕达哥拉斯定理的一项仔细的证明。如果这一证明可以追溯到古希腊数学的发祥之时，这将是一个令人惊讶的奇妙事件。

一俟你接受了或者证明了a2+b2=c2这一等式对于一切直角三角形都成立，而不仅仅局限于3-4-5、5-12-13等易于得到的例子，你就将直接面对一个令人不解的谜团。你可以将正方形沿对角线切为两半，以此得到所有直角三角形中最简单的一种。这种三角形有两条长度相等的直角边，可假定其长度同为1单位。然后，根据毕达哥拉斯定理，斜边的长度为c单位，并依公式得出c2=2。

但根据毕达哥拉斯的教义，宇宙万物都应该是由整数统治的。所以这一神秘的长度c应该可以表达为整数的比率，不妨令其为。找到一些“近似值”易如反掌。例如只不过小了一丁点儿［因为()2==1.96］，而又稍微大了一丁点儿［因为()2=≈2.007］。于是你可以说c的长度在和之间……但无论怎样尝试，你都无法找到这样的一对整数p与q，能使()2=2。

或许你会想，我怎么会如此肯定。不妨让我们假定，你能够找到两个整数p与q，其比率的平方是2。因此可以得出p2=2q2，所以p2是一个偶数。这就是说p是个偶数，因此必有某个整数x，使p=2x成立。因此4x2=（2x）2=p2=2q2，所以q2=2x2。这样一来q也是一个偶数，不妨将其表达为q=2y。但随之可得=，这就意味着是表达这一比率的更小的一对整数。而且这一过程永远不会终止，我们永远也不会将这一分数简化为它的最简形式！这是荒谬的，所以我们开始的假设()2=2必定不能成立。人们称这种证明方法为归谬法，或者通过得出矛盾结论而进行的证明方法。我们将在第5章中进一步讨论这一方法。

如今我们有其他方法表示斜边c的长度。一台标准的10位袖珍计算器给出的长度是1.414213562。但毕达哥拉斯学派并不使用十进位计数制，还要继续历经1500年的沧桑，十进位制数字才会来到欧洲！所以他们不可能以这种方式写下答案。而且不管怎么说，1.414213562仍旧不是c的准确长度。这一数字的平方是1.999999998，不是2。

第二种绕过这一难题的方法是，把这一长度写为c=√2。学校里教的就是这一方法。这一答案看上去准确得让人心里舒服……但同时看上去却很空泛。这里说的是一个数，它的平方是2，即2的平方根。这里说的连一丁点儿新东西也没有！

无论如何，毕达哥拉斯学派人士缺乏√的概念，而且他们也肯定不会对这样一个自己说明自己的回答感到满意。所以他们实际上完全无法写下一个正方形的对角线的长度。这是一个无理性概念，就是无法诉诸语言的概念。今天我们会说这是一个无理数。（有理数是可以写成两个整数的比率的数，比如。）如果“无理”这个字眼听上去带点贬义，这可不是什么巧合。对于毕达哥拉斯学派的人士来说，如果一个数无法诉诸语言，它就不应该用语言来表达。据传说，第一个揭示了这一秘密的人被沉入海中溺毙作为惩罚，这人或许是一个名叫希帕索斯的毕达哥拉斯学派人士。

这是一个令人惊叹的故事，但这个故事可能并非真有其事。毕达哥拉斯似乎没有证明√2是一个无理数的能力。“归谬”证明法是这一证据的核心，这一方法是在毕达哥拉斯之后两代才有人发明的，发明人为埃利亚的芝诺，是巴门尼德的学生；人们有时把巴门尼德说成是毕达哥拉斯学派的一员，但他实际上并不属于该社团。

当今的史学家们认为，毕达哥拉斯及其学派实际取得的成就没有过去人们想象的那么多。人们并没有多少史料实证说明他们确实取得了这些成果，而对那些不属于这一社团的古希腊数学家的成就则有翔实的史料证据。例如，同样不属于毕达哥拉斯学派的昔兰尼的西奥多罗斯在大约公元前400年证明，我们今天称之为√3，√5，直至√17的数字都是无理数。他从√3开始，这一事实或许说明，在他的时代，√2的无理性已经为人所普遍接受。

非毕达哥拉斯学派的古希腊数学家在数学上取得的进展有大量史料的证实。按照现代史学家的观点，研究他们的成果要比一味神化毕达哥拉斯学派无法证实的传说更合乎情理。一位现代史学家M. F.布尼特认为，有关毕达哥拉斯的传说是由柏拉图的传人们有意捏造的，其目的是把柏拉图描绘为某个古代传统的继承人。

让毕达哥拉斯走下神坛还有一个重要原因。当科学成果能够公开传播时，科学的进步速度远比它被裹在隐秘的外罩内时迅捷得多。只要数学被蒙在保密的层层烟雾之后，人们就无法区分真正的数学与虚假的数字命理学。一旦数学走出了毕达哥拉斯的迷雾，走向新发现的道路便畅通无阻，于是就有了西奥多罗斯、欧多克索斯、埃拉托色尼、欧几里得、阿基米德等人的新发现。如果我们赞美古希腊的数学，我们就应该把大部分功绩归于毕达哥拉斯的秘密社团崩溃之后的公开探索精神，而不是归于他的秘密社团。

把毕达哥拉斯定理这样一个伟大的普适数学定理归功于某一个人似乎也是一件令人遗憾的事情。几乎每一个古代文化似乎都有独立发现毕达哥拉斯公式的经历。从某种意义上说，任何对数学有兴趣的文明都不可避免地会发现这一定理。如果真像克罗内克说的那样，整数是上帝创造的，或许毕达哥拉斯定理也是上帝创造的。

例如，毕达哥拉斯定理在中国的名字是“勾股定理”，因为按照中国的术语，“勾”（即小腿，leg）是直角三角形较短的直角边，而“股”（即大腿，thigh）是较长的直角边。（与此对应，西方的术语把这两条边都叫作“腿”，leg。）斜边被称为“弦”，或“琵琶弦”，这或许暗指这一定理的由来：用拉直的绳子测量距离时得到的成果。

勾股定理出现于匿名著作《九章算术》之中，这一开创性著作对中国数学的深远影响可与欧几里得的《几何原本》在西方的影响相比。《九章算术》的著作年代不明，但在3世纪，该书点评家刘徽在他写的序言中十分肯定地认为，该书在中国皇帝秦始皇于公元前213年下令焚尽天下书之前便已经存在。秦始皇死后，人们只能依照记忆重新编写《九章算术》。我们可以很容易地想到，这样一个过程将会有多么不完善。所以，这部著作在代代相传的过程中，初始的文字受到了诸多的改进与评注。

刘徽对《九章算术》的评注是其中最优秀的一个，而且其中包括了许多他自己的材料。刘徽是一位自学成才的数学家，人们或许可以把他看成中国的第一位数学痴才。他研究数学是因为他喜爱它、关心它，而不是因为它会提高他在官场中的地位。在点评中，他找到了多种方法，解释了为什么《九章算术》中的许多陈述是正确的，尤为突出的是，他给出了古希腊方法之外第一份对毕达哥拉斯定理的有记载的证明。

刘徽的证明不禁让人想起了同样古老的中国难题：七巧板（这是一套简单的小木板，可以将其重新安排，组装成许多种不同的奇妙图形）。他的证明从三个正方形开始：以直角三角形的短直角边（勾）a为边的正方形为朱方，以长直角边（股）b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方与青方并为斜边（弦）方。依照面积关系可得a2+b2=c2，朱方与青方已在弦方中的一部分可不加处理。这种证明方法叫作“出入相补法”，现在称“割补法”。刘徽和其他中国数学家多次运用了这一方法。这比欧几里得在《几何原本》中的证明要容易理解得多。

从某一方面来说，勾股定理在中国的历史与它在古希腊的对应历史有很大的差别。如我们所看到的，在古希腊，毕达哥拉斯定理导致了√2这类无理数的发现。而中国数学家从来没有清楚地阐述过无理数的概念。有些历史学家把中国数学与希腊数学的这两种不同的发展道路归结于前者更大的“实用性”，因而认为，中国人对于抽象推理兴趣不大。然而刘徽并不讨厌抽象推理或者数学的“非实用”方面。一位研究中国数学的史学家带头人约瑟夫·道本认为，对此的解释基于中国语言本身。中文难以表达违反事实的假设。让我们回想一下，对√2无理性的证明就是以一个违反事实的句子开始的：“不妨让我们假定，你能够找到两个整数p与q，其比率的平方是2。”一位古代中国数学家大概根本就无法认为这第一个步骤是有道理的。一项虚假的断言如何能够用来证明一项正确的定理呢？

这类差别又一次提醒我们，并不存在研究数学的唯一正确途径。即使在20世纪，一个人称构成主义的数学流派仍然认为，在证明中不应该允许使用归谬法。他们认为对√2无理性的上述证明是完全没有说服力的。如同古代中国人一样，他们对于√2可以通过计算求出（换言之，存在着一种定义明确的程序来计算任何指定精度的√2数值）这一事实更感兴趣。真可谓“江山易改，本性难移”啊。