2 抗拒新概念：零的发现
在数轴上，零是1左边的下一个数字。
论及数字“零”这一概念的书籍数量真可谓汗牛充栋。这一数字是算术中的后来者，其原因或许是人们很难想象零肘尺
或者零头绵羊。甚至在今天，如果拿起一本孩子的数数书，我们或许也无法找到说到零的那一页。
对于零这个数字有两种不同的解释，其中一种远比另一种更为精细。首先，在2009或90210这类数字中，零是用来表示空置数位的符号，这是零的功能。如果没有零这个数字，我们就无法区分这两个数字与29和921。在一个位值数字系统中，“2”的意义取决于它所在的位置；在29这个数中，2代表两个十；而在2009这个数中，2代表两个千。
当然，像古埃及或古罗马一类不使用位值系统的文化中不存在这个问题，也就不需要对应于空位的符号。人们可以很容易地区分罗马数字
（2009）和
（29）。因此，零这个观念没有在这些社会中出现也就不足为奇了。然而，巴比伦人的确使用了一种位值数字系统，但在许多个世纪中，他们也没有想到要用一个记号来表示空数位。表面上看，2009和29之间的含混之处似乎没有造成他们的麻烦，或许这是因为人们通常可以从前后关系中明显地看出究竟应该是哪一个数字。同样的情况即使在今天也会发生。如果有人告诉你今年是哪一年，你会觉得自己将听到一个类似2009的数字；如果他们说的是自己的年龄，29就更合理一些了。注1
注1实际上，巴比伦人使用的是一种六十进位制的数字系统，而不是十进位制数字系统；但这并没有改变会出现模糊现象的这一基本问题。例如，一位巴比伦书吏将无法区分1501（即25x60＋1）与90001（即25x602＋1）。两个数字都会被写成251。
只是在大约公元前400年，也就是独立存在的巴比伦行将作古的时候（此时已经是人们开始使用楔形数字系统之后大约1500年了），书吏们确实开始使用两个垂直的楔形(∧∧)来表示一个空数位。这是历史上第一次出现的表示零的符号，但很显然，巴比伦人只是把它作为占据数位的符号，其本身并非数字。
零的第二个更为微妙的概念出现在印度，即把它作为实际存在的实体对待，例如等式1-1=0中所隐含的意义。这一概念于公元628年，在婆罗摩笈多所著的一本题为《经过更正的梵天的论述》的书中第一次出现。
跟许多古代数学家一样，有关婆罗摩笈多生平的资料也甚为稀少。他于公元598年生于印度中北部，曾是乌贾因数学流派（这里所说的流派是一种松散的学者团体）的一员。他生活的时代距笈多王朝终结后不久；该王朝大约存在于公元320年—550年，其间文化欣欣向荣，经常被人认为是印度文化的黄金时代。梵语文学的许多经典著作就是在这一时期写就的，那时的天文学家们也开发了对日月食和行星运行规律非常准确的预测方法。
婆罗摩笈多的著作中的一个清楚的突出特点是他对其对手们的嘲弄态度。这本书的题目《经过更正的梵天的论述》，本身就暗含着对较早问世的一部天文学著作的批判。婆罗摩笈多对他的前辈也多有评论，其方式可举如下一例：“通晓阿耶波多、维苏坎德拉等人的著作成就不了大师，哪怕（他们）能把那些著作（倒背如流）也依然如此。但通晓梵天的计算的人可以（跻身）大师之列。”
尽管婆罗摩笈多或许有些傲慢，但他清楚地理解了零的本质。他这样写道：“两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；一个正数和一个负数的和是它们的差；如果这个正数与这个负数（绝对值）相等则和为零。”因此，零是通过两个数量相等（绝对值相等）的正数与负数相加得来，例如1+（-1）。这就是现代理念1-1的意义。婆罗摩笈多还进一步写道，任何数加零都不改变它的符号，0+0=0，任何数乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除数会有什么结果。他曾多次重复：“一个负数或正数可以被零整除，则零为其因数。”而且他还错误地认为“零除以零得零”。现代数学家会说，任何用零做除数的除法都无法定义。
值得注意的是，在婆罗摩笈多的著作中，零是与负数一起出现的。的确，想象负数肘尺和负数只绵羊更为困难，或许可以用这一点解释人们对零的抗拒。在婆罗摩笈多之后的许多个世纪中，数学家们还继续避免在他们的公式中使用负数。例如，求解二次方程与三次方程的过程就是因为数学家们避免使用负数而被弄得过分复杂了。他们理解到需要用几种不同的方法求解，而我们今天已经把这些方法归结为单一的公式。
现代数学对于零的重要性的强调通常毫无过分之处。数学家们把它称为单位元素，因为把它加到任何数字上都不会改变那个数字。单位元素对数学的重要性就相当于同义词对文学的重要性。没有谁会质疑我们为什么同时需要“幸福”与“高兴”这两个词。它们能让我们以不同的方式述说本质上相同的事情，但可能却揭示了略为不同的细微之处。零的存在让数学家有了同样的灵活性。根据问题的需要，人们可以把x表达为x+0，也可以由此出发将其改写为x+1-1或其他多种方式。
数学家在19世纪和20世纪发现了许多正数和实数之外的有用的代数结构，发现了许多普通的加法和乘法之外的有用的运算方式。例如，计算机使用模运算，密码学家使用椭圆曲线上的乘法运算，量子物理学家在希尔伯特空间内运算矢量加法与乘法。所有这些运算都是“加”与“乘”这两种基本概念的变种，但它们有时跟我们在学校里学习的加法与乘法大相径庭。它们的共同点是，大家都有一个单位元素。因此，婆罗摩笈多对数学的贡献，即他关于数字零的想法至今还有着鲜活的生命力，尽管他可能不容易意识到这一点。