1.6 加权网络
到目前为止，我们探讨的网络中，所有链接的权重都一样（Aij=1）。然而，在许多应用中，我们需要研究加权网络。加权网络中的每个链接（i,j）都有自己的权重wij。在手机通话网络中，权重可以表示两个人之间手机通话的时长（例如分钟数）；在电网中，权重可以表示传输线路上流过的电流量。
对于加权网络而言，邻接矩阵的元素表示链接的权重，即
令科学界感兴趣的大多数网络都是加权网络，但我们并不总能找到其合适的权重。因此，我们经常使用无权网络来近似加权网络。本书中，我们主要关注无权网络，但会在合适的时候讨论权重对网络性质的影响（边栏1.3）。
边栏1.3
梅特卡夫定律：网络的价值
梅特卡夫定律指出，网络的价值与网络节点个数的平方（N2）成正比。该定律是罗伯特·梅特卡夫（Robert M. Metcalfe）在1980年左右阐述通信设备网络价值时提出的[9]。梅特卡夫定律背后的思想是，网络用户数越多，网络就越有价值。例如，你的朋友中使用电子邮件的人越多，电子邮件这项服务对你而言就越有价值。
20世纪90年代后期互联网泡沫期间，梅特卡夫定律经常被用于对互联网公司进行定量估值。梅特卡夫定律表明，一项互联网服务的价值和其能创造的链接数成正比，也就是和其用户数的平方成正比。相比而言，其成本和用户数（N）却只是线性相关。因此，对互联网服务而言，只要能够吸引足够多的用户，就一定能够赢利——随着N的增加，N2总会超过N（图1-8）。梅特卡夫定律营造了“有服务就不愁用户”的心态，支撑着“增长必将带来利润”的信念。
图1-8 梅特卡夫定律
根据梅特卡夫定律，基于网络的服务或技术－成本随着节点（用户或设备）数目线性增长。相比之下，根据公式1.12，由链接数目Lmax决定的收益或利润，其增速与N2成正比。因此，一旦用户数或设备数超过某个临界值，这项新服务或新技术就会赢利。
梅特卡夫定律是基于公式1.12的：对于拥有N个用户的通信网络，如果其每个链接的价值都是一样的，则网络总价值正比于N（N-1）/2，大致为N2。如果一个网络有N=10个用户，那么这些用户之间最多可有Lmax=45个不同的链接。如果网络大小增加一倍（N=20），链接数会增加不止一倍，而是差不多4倍（Lmax=190）。这一现象在经济学中被称为网络外部性（network externality）。
有两个问题限制了梅特卡夫定律的有效性：
（1）大多数网络是稀疏的，这意味着只有很小一部分链接会出现。因此，网络价值并非像N2那样增大，而是与网络大小N呈线性关系。
（2）链接是有权重的，并不是所有链接的价值都一样。有些链接经常被使用，而绝大多数链接很少被使用。