1.3 高阶谱盲均衡算法的研究进展

高阶谱盲均衡算法从原理上可以分为直接法和间接法两种［37］。从现有算法形式上，可以分为Bussgang盲均衡算法、归一化累积量盲均衡算法、倒谱盲均衡算法、循环平稳盲均衡算法等。

1.3.1 Bussgang盲均衡算法

Bussgang盲均衡算法早期形式是判决引导算法（Direct Decision，DD），该算法采用判决结果作为目标输出，具有最佳的收敛性能，但初始码间干扰ISI大于0.1时算法不收敛［38］。1975年SATO Y ［2］提出了适用于PAM系统的Sato算法。BENVENISTE A等［39］在研究Sato算法的基础上，于1980年提出了BGR算法，把Sato算法推广到QAM系统。1980年，GODARD D N［40］又提出了Godard算法，它通过调节均衡器的抽头增益使得代价函数最小，其代价函数由传输信号的高阶统计特性来构造。当代价函数中的阶p为2时，Godard算法变为恒模（Constant Modulus Algorithm，CMA）算法［41］。1990年，SHALVI O和WEINSTEIN E［42］创立了SW理论，证明在系统输入、输出平均功率相等的约束条件下，系统输入、输出的峰度相等是系统为理想系统的充要条件。该理论揭示了系统输入、输出之间的一般规律，即输出信号的峰度总是小于输入信号的峰度。1987年PICCHI G等［43］提出Stop-and-Go算法，该算法结合了判决法和Sato算法的优点，具有计算简单，收敛速度快，稳态剩余误差小等特点，但代价函数中出现了待定参数，它由实验确定，不易得到它的最佳值，使其应用范围受到一定限制。

恒模盲均衡算法也称为常数模盲均衡算法，具有韧性好，代价函数仅与接收信号的幅值有关而与相位无关等优点，但存在着收敛速度慢、稳态剩余误差较大且无法纠正相位旋转等不足［8］，使其应用受到一定限制。因此，众多学者从不同方面对其进行了改进。

为了解决算法的相位旋转问题，1995年，韩国学者KIL N O和YONG O C［44］提出了修正型常数模算法（Modified Constant Modulus Algorithm，MCMA），将相位信息引入代价函数，实现了均衡过程中相位错误的纠正。1997年，徐金标等［45］将CMA算法中的代价函数修改为实部和虚部两部分，使得代价函数中包含了传输序列的幅度信息和相位信息，解决了相位纠偏问题。近年来，学者们针对不同的应用对象，提出了多种多模盲均衡算法（Multi-Modulus Algorithm，MMA）［46］-［48］，解决了相位旋转问题。

为了提高算法的收敛速度，减小稳态剩余误差。有的学者研究了步长因子对算法收敛性能的影响，步长因子大，收敛速度快，但收敛后稳态剩余误差大；步长因子小，收敛速度慢，但收敛后稳态剩余误差小。为了解决收敛速度和收敛精度之间的相互制约，可在算法初期采用大的步长，接近收敛时采用小的步长。因此，提出了多种步长控制因子，如张立毅等［49］-［51］提出了误差信号峰度、均衡器输出信号峰度和误差信号非线性函数作为步长控制因子的盲均衡算法。张雄等［52］，［53］提出了基于均方误差、误差信号自相关函数的变步长盲均衡算法。赵宝峰［54］、郭晓宇［55］和黄蕾等［56］分别提出了基于MSE变换、均衡器输出信号功率、剩余误差信号的峰度、统计测度等变步长盲均衡算法。NASSAR A M等［57］提出了基于指数权步长递归最小二乘算法的恒模混合算法，等等。有的学者研究了基于双判决切换机制的双模式盲均衡算法，如徐金标等［58］提出了一种模判决盲均衡算法和点判决多模盲均衡算法，其收敛速度得到明显改善。LI Chisheng等［59］提出在算法启动阶段采用多模算法，在“眼图”张开后切换到DD算法，降低了稳态剩余误差。CHEN S［60］将软判决思想引入DD算法，获得了更快的收敛速度。阮秀凯等［61］将代价函数与星座匹配误差函数相结合，提出了适用于高阶QAM的盲均衡算法，并基于星座特征常量的近似计算得到了Bussgang指数拓展多模算法［62］。

2008年，许军等［38］在分析研究Bussgang盲均衡算法的基础上，提出了一些新的Bussgang类盲均衡算法统一形式的代价函数，既涵盖了DD算法、Sato算法、CMA算法和MMA算法，也可用于指导设计新类型的Bussgang盲均衡算法。

1.3.2 归一化累积量盲均衡算法

GADZOW J A［63］于1996年首次提出归一化累积量的概念，并证明系统输入、输出归一化累积量幅度相等是实现盲均衡的充要条件。由于累积量阶次的选择是任意的，因而该充要条件不是一个而是一簇。Gadzow理论意味着同时利用两种高阶累积量就可以解决盲均衡问题。

由于数字通信中的信号一般是对称分布的，而对称分布随机过程的奇次阶累积量恒等于零［64］，所以早期一般采用偶次归一化累积量来进行处理。1991年，PORAT B等［65］首次提出两种直接利用信号的二阶和四阶累积量针对QAM信号进行盲均衡的算法，其中第一种算法基于线性方程组的最小二乘解，第二种算法基于代价函数的非线性优化。但由于其运算量较大，未得到广泛应用。1993年，ZHENG F C［66］，［67］发现了3个线性方程组，分别揭示了信号的二阶、三阶和四阶累积量与均衡器系数之间的线性关系，并针对PAM系统提出一种利用二阶和四阶累积量的盲均衡算法。1995年，TUGNAIT J K［68］针对非因果自回归（Autoregressive，AR）系统辨识提出了两种辨识算法。1998年，何晓薇等［69］以SW理论为基础，利用二阶、四阶累积量对归一化累积量进行了定义，并提出了新的盲解卷积准则。DOULAYE D等［70］提出了六二阶归一化累积量盲均衡准则及其算法。

针对奇次阶高阶累积量为零无法采用归一化累积量的不足，ZHENG F C［66］提出了一种e为底数的对数对称——反对称变换的盲均衡算法。即在信号传输之前，首先将对称信号进行对称——反对称变换变为非对称信号，然后在接收端再进行反对称——对称的变换。这样传输信号不再为对称信号，而迭加噪声仍具有对称分布，使得三阶累积量盲均衡算法具有更大的抗干扰能力。1997年，赵成林［71］提出一种e为底数的指数变换规则。2003年，张晓琴［72］提出一种新的以2为底数的指数变换规则。2005年，张思玉［73］又提出一种新的指数变换规则。在此基础上，张立毅等［74］-［77］提出了基于三二阶、五二阶的归一化累积量盲均衡算法。

1.3.3 倒谱盲均衡算法

由于高阶倒谱不但具有倒谱的许多优良性质，如衰减速度快，可用于辨识系统冲激响应的最小相位和最大相位部分，而且它和高阶累积量一样对高斯有色观测噪声不敏感，因而在盲均衡中得到了广泛关注。但由于计算复杂度较高，使其应用受到一定限制［78］。自1988年PAN R等［79］提出利用观测信号的高阶倒谱进行非最小相位系统辨识算法以来，HATZINAKOS D等［80］，［81］提出基于倒三谱（四阶倒谱）的盲均衡算法，该算法能保证全局收敛，但运算量较大。此后相继出现了一些其他的高阶倒谱算法，如BROOKS D H等［82］利用三阶互倒谱进行非最小相位的同步恢复，PETROPULU A P等［83］从高阶倒谱的部分信息来恢复信号，以及BROOKS D H等［84］利用高阶互谱的复倒谱来进行多信道的盲均衡方法等。1996年，赵成林等［85］提出一种适用于多电平通信系统的、基于系统输出三阶倒谱的非最小相位信道盲均衡新算法。1997年陈滨宁和张贤达［86］设计了基于高阶倒谱的自适应FIR系统辨识算法，适用于参数和阶次都时变的通信系统。2005年和2006年，李灯熬等［87］，［88］推导了倒二谱、倒三谱盲均衡算法的传输函数。

此外，王峰等［89］还针对Bussgang盲均衡算法收敛速度慢的缺陷，采用倒三谱对Bussgang类盲均衡算法进行初始化，通过对恒模盲均衡算法（CMA）、符号误差常数模算法（SECMA）、多模算法（MMA）、Stop-and-Go算法等的仿真，验证了方法的有效性。

1.3.4 过采样盲均衡算法

前几部分讨论的盲均衡算法中，对接收信号的采样速率为码元速率1/T（T为码元间隔或波特间隔），这类均衡器一般称为码率均衡器（Symbol Rate Equalizer）、波特率均衡器（Baud Rate Equalizer）、比特间隔均衡器（Baud Spaced Equalizer，BSE）等，其特点是结构简单、存在非期望的局部收敛点，对于具有深谱零点的信道会造成严重的噪声放大，收敛速度慢甚至发散［90］，以及只能补偿混叠接收信号的频率响应，不能补偿信道固有的失真［91］。因此，提出了过采样（Over Sampling）盲均衡算法，它采用不低于Nyquist速率的采样速率对输入信号进行采样，在总功率不变的条件下，由信号采样量化理论可知，若输入信号的最小幅度大于量化器的量化阶梯，且输入信号的幅度随机分布，则量化噪声的总功率是一个常数，与采样频率无关［92］。过采样会使量化噪声功率谱分布在更宽的频带范围内，这样就使得通过滤波器后的噪声降低，信噪比提高，避免了因欠采样引起的频谱混叠，接收信号频谱中含有信道的频率特性函数，因而均衡器可以有效补偿信道畸变。

1996年，TUGNAIT J［93］研究了用过采样对数字通信中的有限脉冲响应信道FIR进行盲估计和均衡问题。2001年，陈芳炯等［94］在证明了内插信号具有周期平稳性的基础上，证明了过采样使得信道输出具有周期平稳性。2003年，万喆等［95］利用通信信号过采样后所具有的循环平稳性，给出了一种新的基于二阶统计量的算法来完成对非最小相位系统的辨识和估计，利用了一组特征矩阵所包含的信息来进行估计，使估计性能得到了提高。2004年，王永川等［96］通过对接收信号进行过采样，给出了单输入单输出（Single Input Single Output，SISO）系统的等效单输入多输出（Single Input Multiple Output，SIMO）系统模型，并提出了一种新的基于二阶统计量的盲辨识与均衡算法，该算法只需要接收信号的二阶统计量即可辨识与均衡信道。2006年，陈芳炯等［97］通过对信道输出的过采样建立了特殊的多信道模型，提出一种新的针对单输入单输出IIR信道的盲均衡算法，并构造出不同时延的迫零均衡器。2007年，赵菊敏等［98］通过过采样技术，提出了新的盲均衡算法。2008年，郭建华等［99］提出基于循环平稳二阶统计量的SUB-CMOE盲均衡算法，通过对信道输出信号进行过采样，建立单输入多输出的信道模型。2009年，杨培奇［100］等基于过采样技术，提出一种通信信道的盲辨识与均衡算法，将信道分解成多个子信道，充分利用了未知信道的信息，提高了系统辨识的精度。同年，郭业才等［101］基于T/2分数间隔，提出一种双模式盲均衡算法，获得了较快的收敛速度、较小的稳态剩余误差和清晰紧凑的眼图。2013年，赵秋明等［102］提出了四种变步长T/2分数间隔盲均衡算法，进一步提高了收敛速度。2012年到2014年，张晓琴等［103］-［106］先后研究了基于三二阶、四二阶和六二阶的T/4分数间隔固定步长和变步长盲均衡算法，并针对QAM信号进行了仿真验证。