第4章　向量代数和空间解析几何

一、向量

表4-1　向量

二、方向余弦与方向数

1．方向角

非零向量r与三条坐标轴的夹角α，β，称为向量r的方向角．

2．方向余弦

称为向量r的方向余弦．其中，．

3．方向数

三个与方向余弦成比例且不全为零的数A，B，C称为空间直线方向数，记作，即

4．方向余弦与方向数的关系式

三、平面方程

1．平面的点法式方程

其中（）为平面上一点，向量n＝（A，B，C）为平面的一个法线向量．

2．平面的—般方程

其中向量n＝（A，B，C）为平面的一个法线向量．

3．平面的截距式方程

其中a、b和c依次称为平面在x、y、z轴上的截距．

四、空间直线及其方程

1．空间直线的—般方程

2．空间直线的对称式方程（或点向式方程）

3．空间直线的参数方程

五、夹角

1．两平面的夹角

（1）定义

设平面的法线向量依次为和，则平面的夹角（为锐角或直角）满足

（2）结论

①互相垂直⇔；

②互相平行或重合⇔．

2．平面与直线的夹角

（1）定义

设直线的方向向量为s＝（m，n，p），平面的法线向量为n＝（A，B，C），直线与平面的夹角为，即直线和它在平面上的投影直线的夹角为（0≤＜），则满足

（2）结论

①直线与平面垂直⇔；

②直线与平面平行或直线在平面上⇔Am＋Bn＋Cp＝0．

3．两直线的夹角

（1）定义

设直线和的方向向量依次为和，则和的夹角（为锐角或直角）满足

（2）结论

①两直线互相垂直⇔；

②两直线互相平行或重合⇔．

六、距离

1．点到直线的距离

给定直线和点，则点P到直线的距离公式为

2．点到平面的距离

给定平面，则平面外一点到该平面的距离公式为

七、曲面方程和空间曲线方程

1．曲面方程

2．空间曲线方程

（1）空间曲线的一般方程

（2）空间曲线的参数方程

3．空间曲线在坐标面上的投影

（1）投影曲线的定义

以曲线C为准线、母线平行于z轴（即垂直于xOy面）的柱面称为曲线C关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线，又称投影．

（2）投影曲线的求解

由曲线C

消去z得到关于xOy面的投影柱面．则曲线C在xOy面上的投影曲线方程为

八、常用二次曲面的方程及其图形

（1）椭圆锥面：；

（2）椭球面：；

（3）单叶双曲面：；

（4）双叶双曲面：；

（5）椭圆抛物面：

（6）双曲抛物面：；

（7）椭圆柱面：；

（8）双曲柱面：；

（9）抛物柱面：．