第3章　一元函数积分学

一、不定积分和定积分

1．不定积分

（1）不定积分：，其中称为的原函数．

（2）性质

①

②

（3）计算公式

①基本积分表

②常见函数的不定积分

（4）换元积分法

①设f（u）具有原函数，可导，则

常用换元技巧：

②设是单调的可导函数，且．又设具有原函数，则

常用换元技巧：

a．对于积分中有，令；

b．对于积分中有，令x＝asint；

c．对于积分中有，令x＝atant；

d．对于积分中有，令x＝asect．

（5）分部积分法

①表达式

②“反对幂指三”原则

a．“反对幂指三”定义

“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．

b．“反对幂指三”原则

“反对幂指三”原则是指在在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．

2．定积分

（1）定积分：

（2）性质

f，g都在[a，b]上可积，x∈[a，b]，则

①；

②fg在[a，b]上也可积；

③；

④若f（x）≥0，则；

⑤若f（x）≤g（x），则；

⑥．

（3）积分中值定理

①积分第一中值定理

若在连续，则至少存在一点，使得

②积分第二中值定理

设f在[a，b]上可积．则

a．若g在[a，b]上单调递减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得

b．若g在[a，b]上单调递增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得

二、特殊函数的积分

1．有理函数积分

对能化简成多个真分式之和的有理函数，先化简，然后对每个真分式分别求积分，最后求出积分和．

2．三角函数有理式积分：

令，即x＝2arctant，由于

得

3．简单无理函数的积分

对于积分表达式中有形如或的式子，一般令

或

三、积分上限的函数

如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限的函数在[a，b]上可导，并且它的导数

四、牛顿-莱布尼茨公式

五、反常积分

1．无穷积分

（1）上的反常积分

f定义在上，对于任意的t（t＞a），f在[a，t]上可积．若

则称J为在上的无穷积分，记作

称收敛．若极限不存在，则称发散．

（2）上的反常积分

f定义在上，对于任意的t（t＜b），f在[t，b]上可积．若

则称J为在上的无穷积分，记作

称收敛．若极限不存在，则称发散．

（3）上的反常积分

设函数f（x）在区间上连续，反常积分与反常积分之和称为函数f（x）在无穷区间上的反常积分，记为，即

注：只有当和同时收敛时，才收敛．

（4）计算

其中，是的原函数．

2．瑕积分

（1）定义

f定义在上，在点的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间上有界且可积，若

则称此极限为无界函数在上的反常积分，又称瑕积分，记作

称反常积分收敛，如果极限不存在，称发散．点a称为f的瑕点．

（2）计算

是的原函数，则：

①若b为瑕点，则；

②若a为瑕点，则；

③若a、b都为瑕点，则；

④若瑕点，则．

3．反常积分的收敛性

（1）当时，该反常积分发散；

（2）当时，有

4．反常积分的收敛性

（1）当时，该反常积分发散；

（2）当时，有

六、定积分的应用

1．平面图形的面积

（1）直角坐标情形

①设由曲线y＝f（x）及直线x＝a，x＝b（a＜b）与x轴所围成的曲边梯形的面积是A，则

a．当f（x）≥0时

b．当f（x）＜0时

c．当f（x）在定义域上既有正值，又有负值，则

②设由曲线y＝f（x）、y＝g（x）及直线x＝a，x＝b（a＜b）与x轴所围成的曲边梯形的面积是A，则

（2）参数方程情形

设曲线C

记，则由曲线C及直线x＝a，x＝b和x轴所围成图形的面积

（3）极坐标情形

由曲线及射线，围成的曲边扇形的面积

2．平面曲线的弧长

（1）参数方程

则

（2）直角坐标方程y＝f（x）（a≤x≤b），其中f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，则

（3）极坐标方程，其中在上具有连续导数，则

3．旋转体的体积

（1）绕x轴旋转一周而成的立体的体积

由连续曲线y＝f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，其体积公式

（2）绕y轴旋转一周而成的立体的体积

①由连续曲线、直线y＝c、y＝d（c＜d）与y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积公式

②由连续曲线y＝f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的立体，其体积公式

4．侧面积

曲线y＝f（x）（f（x）≥0）和直线x＝a，x＝b（0≤a＜b）及x轴所围成区域绕x轴旋转所得旋转体的侧面积为

5．平行截面面积为已知的立体的体积

设定轴为x轴，立体在过点x＝a、x＝b且垂直于x轴的两个平面之间．以A（x）表示过点x且垂直于x轴的截面面积．A（x）为已知的x的连续函数，则

6．功、引力、压力

（1）变力沿直线所作的功

在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为W＝F·S．

（2）水压力

①水深为h处的压强为，其中是水的密度，g是重力加速度；

②面积为A的平板水平地放置在水深为h处，则平板一侧所受的水压力为P＝p·A．

（3）引力

质量分别为m₁、m₂，相距为r的两质点间的引力的大小为

其中，G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向．

7．质心

（1）二维平面质心公式

其中，μ（x，y）表示在点（x，y）处的面密度，D表示积分区域．

（2）三维空间质心公式

其中，，表示在点（x，y，z）处的密度，表示积分区域．

8．形心

（1）定义

把均匀平面薄片的质心称为该平面薄片所占的平面图像的形心．

（2）计算公式

①二维平面形心公式

其中，为闭区域D的面积．

②三维空间形心公式

其中，为封闭空间Ω的体积．

9．f（x）在[a，b]上的平均值