第6章　微分中值定理及其应用[视频讲解]

6.1　本章要点详解

本章要点

■罗尔定理

■拉格朗日定理

■柯西中值定理

■不定式极限

■泰勒公式

■极值的判别

■函数的凸性与拐点的判定

重难点导学

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一、拉格朗日定理和函数的单调性

1．罗尔定理与拉格朗日定理

（1）罗尔中值定理

若函数f满足如下条件

①f在闭区间[a，b]上连续；

②f在开区间（a，b）可导；

③f（a）＝f（b），

则在（a，b）上至少存在一点ξ，使得

  注：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少在一条水平切线．

（2）拉格朗日中值定理

若函数f满足如下条件

①f在闭区间[a，b]上连续；

②f在开区间（a，b）上可导，

则在（a，b）上至少存在一点ξ，使得

（3）推论

①若函数f在区间I上可导，且f′（x）≡0，x∈I，则f为I上的一个常量函数．

②若函数f和g均在区间I上可导，且f′（x）≡g′（x），x∈I，则在区间I上f（x）与g（x）只相差某一常数，即

f（x）＝g（x）＋c（c为某一常数）

③导数极限定理：设函数f在点x₀的某一领域U（x₀）上连续，在内可导，且极限存在，则f在点x₀可导，且

2．单调函数

（1）定理

①设f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上递增（减）的充要条件是

f′（x）≥0（≤0）

②若函数在（a,b）上可导，则f在（a，b）上严格递增（递减）的充要条件是：对一切x∈（a，b），有f′（x）≥0（f′（x）≤0）；在（a，b）的任何子区间上．

（2）推论

设函数在区间I上可微，若f′（x）＞0（f′（x）＜0），则f在I上严格递增（严格递减）．

（3）达布定理

若函数f在[a，b]上可导，且f′_＋（a）≠f′_－（b），k为介于f′_＋（a），f′_－（b）之间的任一实数，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

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二、柯西中值定理和不定式极限

1．柯西中值定理

设函数f和g满足

（1）在[a，b]上都连续；

（2）在（a，b）上都可导；

（3）f′（x）和g′（x）不同时为零；

（4）g（a）≠g（b），

则存在ξ∈（a，b），使得

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2．不定式极限

（1）型不定式极限

若函数f和g满足

①；

②在点x₀的某空心邻域上两者都可导，且；

③（A可为实数，也可为±∞，∞）；

则．

（2）型不定式极限

若函数f和g满足

①在x₀的某邻域上两者可导，且；

②；

③（A可为实数，也可为±∞，∞）；

则．

（3）其他类型不定式极限

不定式极限还有等类型经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限．

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三、泰勒公式

称为函数f在点x₀处的泰勒多项式，T_n（x）的各项系数（k＝1，2，…，n）称为泰勒系数．

1．带有佩亚诺型余项的泰勒公式

（1）定理

若函数f在点x₀存在直至n阶导数，则有f（x）＝T_n（x）＋（（x－x₀）ⁿ），即 （6-1）

式（6-1）称为函数f在x₀处的泰勒公式，R_n（x）＝f（x）－T_n（x）称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项，所以式（6-1）又称带有佩亚诺型余项的泰勒公式．

（2）麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式（6-1）在x₀＝0时的特殊形式

　 （3）常用的麦克劳林公式

2．带有拉格朗日型余项的泰勒公式

（1）泰勒定理

若函数f在[a，b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a，b）上存在（n＋1）阶导函数，则对任意给定的x，x₀∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得

  （6-2）

（2）拉格朗日型余项

式（6-2）称为泰勒公式，它的余项为

称为拉格朗日型余项，所以式（6-2）又称带有拉格朗日型余项的泰勒公式．

（3）n＝0时，泰勒公式（6-2）在x＝0时的特殊形式为

称为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式．

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四、函数的极值与最大（小）值

1．极值判别

（1）极值的第一充分条件

设f在点x₀连续，在某邻域U⁰（x₀；δ）上可导

①若当时f′（x）≤0；当时，f′（x）≥0，则f在点x₀取得极小值．

②若当，时f′（x）≥0；当时，f′（x）≤0，则f在点x₀取得极大值．

（2）极值的第二充分条件

设f在x₀的某邻域U（x₀;δ）上一阶可导，在x＝x₀处二阶可导,且

①若f"（x₀）＜0，则f在x₀取得极大值；

②若f"（x₀）＞0，则f在x₀取得极小值．

（3）极值的第三充分条件

设f在x₀的某邻域内存在直到n－1阶导函数，在x₀处n阶可导，且

①当n为偶数时，f在x₀取得极值，且当时，取极大值．时，取极小值．

②当n为奇数时，f在x₀不取极值．

2．最大值与最小值

（1）由连续函数在[a，b]上的性质，若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上一定有最大、最小值．

（2）若函数f的最大（小）值x₀在开区间（a，b）上，则x₀必定是f的极大（小）值点，又若f在x₀处可导，则x₀还是一个稳定点，所以只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f在[a，b]上的最大值与最小值．

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五、函数的凸性与拐点

1．相关定义

（1）凹凸函数

设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点，和任意实数λ∈（0，1）总有

则称f为I上的凸函数．反之，如果总有

则称f为I上的凹函数．

（2）拐点

设曲线y＝f（x）在点（x₀、f（x₀）处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的,这时称点（x₀、f（x₀））为曲线y＝f（x）的拐点．

2．重要定理

（1）f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有

（2）设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价

①f为I上凸函数．

②f′为I上的增函数．

③对I上的任意两点有

（3）设f为区间I上的二阶可导函数，则在I上，为凸（凹）函数的充要条件是

（4）若f在x₀二阶可导,则（x₀，f（x₀））为曲线y＝f（x）的拐点的必要条件是f″（x₀）＝0．

（5）设f在x₀可导，在某邻域U″（x₀）上二阶可导．若在和上f″（x）的符号相反，则（x₀，f（x₀））为曲线y＝f（x）的拐点．

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六、函数图像的讨论

作函数图像的一般步骤：

（1）求函数的定义域；

（2）考察函数的奇偶性、周期性；

（3）求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点、不连续点、不可导点等；

（4）确定函数的单周区间，极值点，凸性区间以及拐点；

（5）考察渐近线；

（6）综合以上讨论结果画出函数图像．