5.2　配套考研真题解析

　 一、选择题

设f（u）与φ（t）均可微，，则（　　）是不正确的．[南京航空航天大学2004研]

A． 

B．

C． 　

D．

【答案】B

【解析】根据复合函数一阶微分不变性，．

二、证明题

1．设f（x）在[－1，1]上有二阶连续偏导数，f（0）＝0，令，，证明

（1）g（x）在x＝0处连续且可导，并计算g＇（0）；

（2）g＇（0）在x＝0处也连续．[华东师范大学2006研]

证：（1）由于

并由洛必达法则知

所以g（x）在x＝0处连续且可导，．

（2）由于

所以，由洛必达法则知

故g＇（x）在x＝0处也连续．

2．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上二次连续可微，且满足|f（x）|≤M（M为正数）．证明：存在，使得．[山东科技大学2006研]

证：反证法．

假设对任意的x∈（－∞，＋∞）都有，由于导数具有介值性，所以恒正或恒负，不妨设，于是f＇（x）严格递增．取x₀，使，若，则当，并令x→＋∞时

若，则当，并令x→－∞时

与f（x）的有界性矛盾，得证．

三、计算题

1．设y＝y（x）为可微函数，其中

（5-1）

求．[浙江大学2001研]

解：将已知等式两边对x求导得

（5-2）

将x＝0代人式（5-1）可解得y（0）＝0，再将x＝0代人式（5-2）得

2．设f"（u）存在，[中国地质大学2002研]

解：由y＝f（x＋y），令u＝x＋y．则

  （5-3）

即

由式（5-3），两边再对x求导，有

　 （5-4）

由式（5-4）解得