第5章　导数和微分[视频讲解]

5.1　本章要点详解

本章要点

■导数的定义

■求导法则

■参变量函数的导数

■莱布尼茨公式

■微分的定义

重难点导学

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一、导数的概念

1．相关定义

（1）设函数y＝f（x）在点x₀的某邻域内有定义，若极限

　  （5-1）

存在，则称函数f在点x₀处可导，并称该极限为函数f在点x₀处的导数，记作．

令x＝x₀＋Δx，Δy＝f（x₀＋Δx）－f（x₀），则式（5-1）可改写为

（2）设函数y＝f（x）在点x₀的某右邻域[x₀，x₀＋δ）上有定义，若右极限

存在，则称该极限值为f在点x₀的右导数，记作．

类似地，定义左导数为

右导数和左导数统称为单侧导数．

（3）若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称f为I上的可导函数。对每个x∈I，都有f的一个导数（或单侧导数）与之对应，称为f在于I上的导函数，也简称为导数，记作．

（4）若函数f在点x₀的某邻域U（x₀）上对一切x∈U（x₀）有

则称函数f在点x₀取得极大（小）值，称点x₀为极大（小）值点．极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点．

2．重要定理

（1）若函数在点可导，则在点连续．

（2）若函数在点的某邻域上有定义，则存在的充要条件是与都存在，且

＝

（3）费马定理

设函数在点的某邻域上有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有

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二、求导法则

1．导数的四则运算

（1）若函数u（x）和ν（x）在点x₀可导，则函数f（x）＝u（x）±ν（x）在点x₀也可导，且

（2）若函数u（x）和ν（x）在点x₀可导，则函数f（x）＝u（x）ν（x）在点x₀也可导，且

（3）若函数ν（x）在点x₀可导，c为常数，则

（4）若函数u（x）和ν（x）在点x₀都可导，且ν（x₀）≠0，则在点x₀也可导，且

2．反函数的导数

设为的反函数，若在点某邻域上连续，严格单调且（）≠0，则在点（＝）可导，且

3．复合函数的导数

（1）f（x）在点x₀可导的充要条件是：在x₀的某邻域U（x₀）上，存在一个在点x₀连续的函数H（x），使得

从而．

（2）设u＝φ（x）在点x₀可导，y＝f（u）在点u₀＝φ（x₀）可导，则复合函数在点x₀可导，且

4．基本求导法则与公式

（1）基本求导法则

①．

②（c为常数）．

③．

④反函数导数．

⑤复合函数导数．

（2）基本初等函数导数公式

①（c为常数）．

②（c为任意实数）．

③

④

⑤

⑥．

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三、参变量函数的导数

平面曲线C一般的表达形式是由参变量（参量）方程

表示，设t＝t₀对应曲线C上的点P．设φ，ψ在点t₀可导，且若对应C上的点Q（如图5-1所示），割线PQ的斜率为

曲线C在点P的切线斜率是

图5-1

其中α为切线与x轴正向的夹角．

若φ，ψ在[α，β]上都存在连续的导函数，且，这时称C为光滑曲线．其特点是在曲线C上不仅每一点都有切线,且切线与x轴正向的夹角α（t）是t的连续函数．

若具有反函数，那么它与构成一个复合函数

这时只要函数φ，ψ可导，（因而当Δx→0时，也有Δt→0和Δy→0），可由复合函数和反函数的求导法则得到

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四、高阶导数

1．定义

若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作（），即

称在点x₀为二阶可导．

若f在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作f "（x），x∈I，或者简单记为f"．

一般地，可由f的n－1阶导函数定义f的n阶导函数（简称n阶导数）．

2．常见三角函数n阶导数公式

3．莱布尼茨公式

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五、微分

1．微分概念

（1）定义

设函数y＝f（x）定义在点x₀的某邻域U（x₀）上，当给x₀一个增量Δx，x₀＋Δx∈U（x₀）时，相应地得到函数的增量为

如果存在常数A，使得Δy能表示成

   （5-2）

则称函数f在点x₀可微，并称式（5-2）中的第一项AΔx为f在点x₀的微分，记作

（2）定理

函数f在点x可微的充要条件是函数f在点x₀可导，而且（5-2）式中的A等于f＇（x₀）．

2．微分的运算法则

3．高阶微分

函数y＝f（x）的一阶微分是

其中变量x和dx是相互独立的．现将一阶微分只作为x的函数，若f二阶可导，则dy对自变量x的微分为

或写作

称它为函数f的二阶微分．

一般地，n阶微分是n－1阶微分的微分，记作，则