4.2　配套考研真题解析

一、证明题

1．设f（x）为定义在上的函数，且，在区间（0，1）上定义函数．证明：函数g（x）右连续．[中北大学2005研]

证：对任意的，所以对任意的ε＞0，存在使得，．对任意的，由g（x）的定义知

，故．当时，若t满足，则，对t取下确界得

从而，则函数g（x）在区间上每一点都右连续．

2．证明：在[n，＋∞）（其中a＞0）上一致连续，在（0，1）上不一致连续．[中国科学院2001研]

证：对，取δ＝a²ε．当时，

由一致连续的定义知在[a，＋∞）（a＞0）中一致连续．

在（0，1）内取，取．

对任意δ＞0，只要n充分大总有

所以g（x）在（0，1）上不一致连续．

3．设f（x）是在区间[a，＋∞）上的有界连续函数，并且对任意实数c，方程f（x）＝c至多只有有限个解，证明：存在．[华东师范大学2005研]

证明：由于f（x）在区间[a，＋∞）上有界，所以数列{ f（n）}有界，由致密性定理知存在子列收敛，记．下证．

反证法．

假设，则存在及单调递增数列，使得．由于是有界的，所以由致密性定理知存在子列收敛，并记．从而，不妨设B＞A．由极限的保号性知，存在K＞0，使得

于是由连续函数的介值性知有无限多个解，矛盾．

　 二、计算题

设函数

其中g（x）具有二阶连续导函数，且g（0）＝1．

（1）确定a的值，使f（x）在点x＝0连续；

（2）求；

（3）讨论在点x＝0处的连续性．[哈尔滨工业大学研]

解：．

要使f（x）在x＝0处连续，则．

（2）当x≠0时

当x＝0时

在x＝0处连续．