第3章　离散系统的时域分析

一、选择题

1．有限长序列的长度为4，欲使与的圆卷积和线卷积相同，则长度L的最小值为（　　）。[中国科学院研究生院2012研]

A．5

B．6

C．7

D．8

【答案】C

【解析】的长度为4，则其线卷积的长度为4＋4－1＝7。当与的圆卷积时，与的圆卷积和线卷积相同，可知L的最小值为7。

2．若以下为系统的单位样值响应，则其中代表不稳定系统的是（　  ）。[中国科学院研究生院2012研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】若离散时间系统稳定，则系统函数的收敛域应该包括单位圆。题中四个选项的Z变换收敛域分别为由此可知B选项代表不稳定系统。

二、分析计算题

1．已知序列：f（n）＝ε（n）－ε（n－2），h₁（n）＝δ（n）－δ（n－1），h₂（n）＝anε（n－1），a≠0，则y（n）＝f（n）*h₁（n）*h₂（n）为何序列？[长沙理工大学2006研]

解：根据卷积运算，有

2．已知二阶离散系统的差分方程为y（k）－5y（k－1）＋6y（k－2）＝f（k－1），且f（k）＝2kε（k），y（－1）＝1，y（－2）＝1。求系统的完全响应y（k）、零输入响应y_x（k）、零状态响应y_f（k）、系统函数、系统单位样值响应。[长沙理工大学2006研]

解：对系统差分方程取单边z变换，得

将初始条件y（－1）＝1和y（－2）＝1代入上式，整理得

其中，。

因此，系统的零输入响应为

又因为，所以

因为，由z域微分性质，得

因此，系统的零状态响应为

系统全响应为

系统函数为

系统单位样值响应为

3．离散时间系统如图3-1所示，已知y（－1）＝y（－2）＝1，f（n）＝（1/3）nε（n），试求：

图3-1

（1）写出描述该系统的差分方程；

（2）设该系统为因果系统，求系统函数H（z）和单位脉冲响应h（n）；

（3）求系统零状态响应y_f（n）、零输入响应y_x（n）和全响应y（n）；

（4）在Z平面上画出H（z）的零极点分布图，并判断系统的稳定性；

（5）设信号的采样周期T_s＝1s，请画出系统的幅频响应特性图。[长沙理工大学2005研]

解：（1）系统的差分方程为

对差分方程取单边z变换，得

整理得

其中

（2）该系统为因果系统，则系统单位脉冲响应为右边序列，系统传输函数为

系统单位脉冲响应为

（3）系统零输入响应为

系统零状态响应为

系统全响应为

（4）H（z）的零极点分布如图3-2所示，由于极点全部在单位圆之内，因此系统是稳定的。（系统函数的收敛域为，包括单位圆，系统是稳定的）

系统幅频特性为：，其幅频特性如图3-3所示。

图3-2　 图3-3

4．已知描述某线性时不变离散系统的差分方程为y（k＋2）－3y（k＋1）＋2y（k）＝f（k＋1）－2f（k），并知f（k）＝ε（k），y（0）＝1，y（1）＝1。

（1）求系统的全响应y（k）；

（2）画出系统的一种模拟流图。[西安电子科技大学2005研]

解：（1）根据题目给定的差分方程，可改写为

y（k）－3y（k－1）＋2y（k－2）＝f（k－1）－2f（k－2）

由于y（0）＝1，y（1）＝1，f（k）＝ε（k），因此由上述差分方程可推得：。对上述差分方程取单边z变换，得

Y（z）－3[z－1Y（z）＋y（－1）]＋2[z－2Y（z）＋z－1y（－1）＋y（－2）]＝（z－1－2z－2）F（z）

整理，得

将代入式中，得

把F（z）＝1/（1－z－1）代入上式，可得

利用部分分式法将Y（z）化简为

因为，所以，系统的全响应为：

（2）由于，设中间变量为，即

X（z）＝F（z）＋3z－1X（z）－2z－2X（z）（1）

Y（z）＝z－1X（z）－2z－2X（z）（2）

由式（1）和式（2）可画出系统的一种模拟流图如图3-4所示。

图3-4

5．在移动通信系统中，多径传输是使系统性能降低的一个主要原因。所谓多径传输是指发射机和接收机之间有多条传输路径（例如，发射信号经过多个物体的反射到达接收端，形成多径传输），每条路径的传输距离和传输时延通常是不同的。一个简单的多径传输模型可以表示为

其中，y（n）表示有失真的接收信号，x（n）表示发射信号。求从y（n）复原x（n）的逆系统的冲激响应。[北京邮电大学2012研]

解：由题意可知，多径传输模型的系统函数为

若想要从y（n）中复原x（n）,则逆系统的系统函数为

则其冲激响应为：