第2章　连续系统的时域分析

一、填空题

1．若y（t）＝f（t）*h（t），则y（2t）＝______。[长沙理工大学2006研]

【答案】2f（2t）*h（2t）

【解析】根据卷积定义，，则

另解：此题也可以使用傅里叶变换性质得到：

设

则，由尺度变换特性得

则。

2．已知某LTI系统，当输入为f（t）＝ε（t）时，其输出为y（t）＝e－tε（t）＋ε（－1－t）；则当输入为f（t）＝ε（t－1）－ε（t－2）时，系统的响应y_f（t）＝______。[长沙理工大学2006研]

【答案】

【解析】设f₁（t）＝ε（t）由LTI系统的线性和时不变性得（由于该题没有给出系统的初始状态，所以这里不考虑）

f（t）＝ε（t－1）－ε（t－2）＝f₁（t－1）－f₁（t－2）

3．已知某LTI系统，当t＞0时有：

当输入f（t）＝（e－t＋2e－2t）ε（t）时，输出响应为（e－t＋5e－2t）ε（t）；

当输入f（t）＝（2e－t＋e－2t）ε（t）时，输出响应为（5e－t＋e－2t）ε（t）；

当输入f（t）＝（e－t＋e－2t）ε（t）时，输出响应为（e－t＋e－2t）ε（t）；

则当输入为f（t）＝（e－t－e－2t）ε（t）时，系统的输出响应为______。[长沙理工大学2006研]

【答案】

【解析】根据LTI系统的线性性质，这里给出的条件较多，所以要考虑系统的初始状态

（1）首先算出两组输入对应的零输入响应

其零状态响应为：

其对应的零状态响应为：＝

同样可得对应的零状态响应为

则所对应的零状态相应为

求得对应的零状态响应为

则解得零输入响应为

因而求得输入为f（t）＝（e－t－e－2t）ε（t）时，输出为

二、判断题

任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和。（　　）[北京邮电大学2012研]

【答案】×

【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号引起的响应。由此可知仅当系统满足线性时，其全响应必为零状态响应与零输入响应之和。

三、分析计算题

1．已知某系统的转移函数，系统的激励信号，求系统的零状态响应

，并标明受迫分量和自然分量。[天津工业大学2006研]

解：进行部分分式分解，可得：

将代入，则可得S域的系统函数为：

取激励信号的拉氏变换，可得：

则零状态响应：

取激励信号的拉氏反变换，可得：

自由分量：（具有系统的特征根形式）

受迫分量：（具有激励响应的形式）

2．给出下列波形函数的卷积结果波形，其中，图2-1（a）、（b）分别为f₁（t）和f₂（t）的波形。[长沙理工大学2006研]

图2-1

解：由图2-1（b）可知，f₂（t）＝δ（t－1）－δ（t－3）。根据卷积运算的时移性质和δ（t）的性质，有

所以，其波形如图2-2所示。

图2-2

3．某初始状态不为零的因果连续LTI系统如图2-3所示，已知当输入时，系统全响应为

，且系统函数的两个共轭零点的实部为1。试回答以下问题：

（1）确定系统框图中a、b、c、d的值；

（2）求零状态响应和零输入响应；

（3）求初始状态值、、。[华中科技大学2008研]

图2-3

解：由框图可知，系统函数

令，由于两共轭零点实部为1，可以求得，故。

因输入，即时，系统全响应，即

　 ①

由此可知的三个一阶极点分别为，，，分别代入传递函数特征方程式

，从而可得

根据可写出系统微分方程为

对方程两边取单边拉氏变换，将代入并整理可得

　  ②

由式①＝②，可求得

零状态响应为

取拉氏反变换得

零输入响应为

4．如图2-4所示线性时不变连续复合系统，已知，H₂（jω）＝e－jπω，h₃（t）＝ε（t），h₄（t）＝sin（6t）/（πt）。

图2-4

（1）求复合系统的频率响应H（jω）和冲激响应h（t）；

（2）若输入f（t）＝sin（4t）＋cos（t），求系统的零状态响应y_f（t）；

（3）求响应y_f（t）的功率。[西安电子科技大学2005研]

解：（1）因为

整理，得

Y（jω）＝F（jω）H₁（jω）[1－H₂（jω）]H₃（jw）H₄（jω）

由系统频率响应的定义，得

   （1）

由和傅里叶变换的对称性，有

令τ＝4，可得

由傅里叶变换的时域微分性质，可得

即

　  （2）

同理，可得h₄（t）＝sin（6t）/πt＝（6/π）Sa（6t）g₁₂（ω），即

  H₄（jω）＝g₁₂（ω）　  （3）

又因为

将H₁（jω）～H₄（jω）代入式（1）得

又因为

所以，系统的单位冲激响应为

（2）因为

cos（ω₀t）|H（jω₀）|cos[ω₀t＋ψ（ω₀）]

sin（ω₀t）|H（jω₀）|sin[ω₀t＋ψ（ω₀）]

当ω₀＝1时，|H（j）|＝（1/2）g₄（1）（1－e－jπ）＝1，ψ（1）＝0；

当ω₀＝4时，|H（j4）|＝（1/2）g₄（4）（1－e－jπ4）＝0，ψ（4）＝0。

所以有

f（t）＝sin（4t）＋cos（t）

进而可得系统的零状态响应为

y_f（t）＝cos（t）

（3）由于系统响应y_f（t）＝cos（t）是周期信号，且周期为T＝2π，因此，其功率为

5．一个LTI系统S的单位冲激响应是；

（1）计算该系统S的单位阶跃响应。

（2）当该系统的输入信号是时，求该系统的输出信号？[华南理工大学2011研]

解：（1）系统函数

系统的单位阶跃响应的拉氏变换为：

取其拉氏逆变换为：

（2）已知则其拉氏变换为：

取其逆变换可得。

6．由微分方程表示的因果系统，已知其起始条件为，

。

（1）求系统函数，画出在s平面上零极点分布和收敛域；

（2）试画出用最少数目的三种连续时间基本单元（数乘器、相加器和积分器）实现该系统的规范型实现结构；

（3）当输入时，求该系统的零状态响应，以及零输入响应。[中国科学技术大学2012研]

解：（1）对微分方程两边拉氏变换，可得到系统函数。

即

则其零极点分布图如下，

由于系统是因果系统，所以同时标出系统的收敛域如图2-5所示：

图2-5

（2）由题中要求用最少数目的连续时间基本单元，所以我们选择的是直接Ⅱ型，该结构如图2-6所示：

图2-6

（3）对微分方程两边进行单边拉氏变换得：

整理得：

则

（仅与输入有关）

（仅与系统的初始状态有关）

取其逆变换得：