第4章 力学量随时间的演化与对称性
4.1 复习笔记
一、力学量随时间的演化
1．守恒量
对于力学量A，其平均值随时间变化关系式如下
故对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，力学量A对应算符不显含时间t，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A称为量子体系的一个守恒量．
2．能级简并与守恒量的关系
（1）守恒量与简并关系的定理
定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F，H]＝0，[G，H]＝0，但[F，G]≠0，则体系能级一般是简并的．
推论 如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E只有一个本征态
），则必为F的本征态．
（2）位力（virial）定理
当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial）定理．设粒子处于势场V（r）中，Hamilton量为
则位力定理表述如下
位力定理推论：若势场函数V(r)为r的n次齐次式，则有推论
二、波包的运动，Ehrenfest定理
设质量为m的粒子在势场V（r）中运动，用波包ψ（r，t）描述．设粒子的Hamilton量为
作如下定义：
则Ehrenfest定理表述如下：
三、Schrödinger图像与Heisenberg图像
F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．
五、全同粒子体系与波函数的交换对称性
1．全同粒子体系的交换对称性
（1）全同性原理
全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．
凡满足Pijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足Pijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．
（2）玻色子与费米子
凡自旋为
整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose子．
凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．
2．两个全同粒子组成的体系
Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．
3.N个全同Fermi子组成的体系
设N个Fermi子分别处于k2<kz<…<kN态下，则反对称波函数可如下构成
是归一化因子．
4.N个全同Bose子组成的体系
Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有ni个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），
则该体系的归一化的对称波函数可表为
