3.3 名校考研真题详解
一、选择题
1．量子谐振子的能量是（ ）[中南大学2010研]
A．En＝hω（n＋1/2）
B．En＝ħω（n＋1/2）
C．En＝hv（n＋1/2）
D．En＝ħv（n＋1/2）
【答案】A
【解析】由于谐振子的哈密顿算符为
,而
本征值为n，于是谐振子能量为
．
2．下面关于厄米算符的定义式中．正确的为（ ）[中南大学2010研]
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】量子力学中力学量对应的算符必须为厄米算符，这是因为力学量算符的本征值必须为实数．厄米算符定义式为
．
二、填空题
1．力学量算符必须是______算符，以保证它的本征值为______．[中南大学2010研]
【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符．
2．在量子力学原理中．体系的量子态用希尔伯特空间中的______来描述．而力学量用______描述．力学量算符必为______算符，以保证其______为实数．[中南大学2010研]
【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值
【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵．力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实．
3．当对体系进行某一力学量Â的测量时．测量结果一般来说是不确定的．测量结果的不确定性来源于______．[中南大学2010研]
【答案】测量的干扰
【解析】当我们对物理量进行测量时，不可避免地对体系施加影响，而这影响将导致体系的波函数发生变化，这最终导致对物理量的测量的不确定性．
三、简答题
1．写出角动量的三个分量
，
，
的对易关系．[湖南大学2009研]
答：这三个算符的对易关系为
， 
， 
2．量子力学中的力学量算符有哪些性质?为什么需要这些性质? [南京大学2009研]
答：量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质．
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符．
四、计算题
1．对于角动量算符
同理可得
则
的三个分量之间的关系通式为：
，其中
是Levi－Civita符号，
．
（b）
若
是
和
的共同本征函数，可设＝
，
则
，
可见
是和的共同本征函数，本征值分别为
和
．
（c）在球坐标中，
，代入的本征方程
得
利用周期性边界条件
可得
由归一化条件可得
，则的本征态为
相应的本征方程为
．
2．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数．
（2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交．
（3）对于角动量算符
．
（2）证：
．
（3）因为
．
设本征方程为
C为积分常数，可由归一化条件决定．又因为波函数满足周期性边界条件的限制，
由此可得
，即角动量z分量的本征值为
，是量子化的，相应本征函数记为
．
再利用归一化条件可得
，即为其本征函数．相应的本征方程为
．
3．（1）设
利用
化简可得：
（2）解：
4．（1）求算符
即算符
与
不对易．
（2）证：
则
得证．
5．一粒子处于势场V（x）中，且势V（x）没有奇点．假设ψn（x）与ψm（x）是束缚态的波函数，相应的本征能量色En≠Em．试证明这两个波函数对应的态矢正交．[武汉大学2008研]
解：由题意
I
II
并在方程两边同时积分
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式II有
又
，则
III
设粒子本征波函数完备集为
，则由正交归一化条件有
IV
态矢为
，
态矢为
即
V
IV、V代入III有
此即
，亦即两个波函数对应态矢正交．
6．一体系初始时刻的态为
（1）求（ψ，
＋ψ）＝？其中＋＝x＋ iy．
（2）如果对z测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？
（3）如果对z进行了测量，并得到结果lz＝－ħ，计算不确定度△Lx和△Ly及它们的乘积△Lx △Ly．[中南大学2010研]
解：（1）由公式
可得
故
．
（2）由题意，m＝
1，0,1而
本征值为
，故可能测得值为
．
（3）易知
于是有
．
因此
．