§2.6　回归分析的应用——预测

一、预测概述

计量经济分析的目的之一就是预测。预测是关于未来事件可能结果的估计，对结果的估计依赖于过去和现在的信息。而预测信息就包含在回归分析模型中。把模型结果外推到样本区间以外，就能对被解释变量的未来值进行预测。

在时间序列分析中，预测就是指对事物未来状态的估计。在截面数据分析中，预测分析同样适用，此时的目的是预测当X取特定值X0时，Y的可能结果值为Y0。

点预测就是对预测对象的未来值给出一个估计值，区间预测就是给出预测对象实际值的一个置信区间。

由预测分析得到的信息有许多用途。经济系统中，预测常常用来指导经济政策和方针的制定。当预测到经济系统将出现高通货膨胀时，政府往往会提前采取紧缩的政策。当预测石油价格会上涨时，人们会增加石油的储备。预测结果还能用于指导建立模型。当预测结果与实际结果相差较大时，会利用误差信息对模型进行修正。

预测分事后模拟预测和事先预测。事后模拟预测指对样本区内已知Y的结果值的区间进行估计，也称为模拟值。事先预测指对样本区外未知Y的结果进行估计。

二、均值预测

在收入-消费模型中，我们得到样本回归模型为

其中是对应于给定Xi的Yi的总体均值E（Yi）的估计量。均值预测就是预测对于给定的X0，Y的条件均值的值，也就是预测总体回归线本身上的点。

利用式（2.82）进行预测，假定X0=2000，我们对Yi的均值E（Y｜X0=2000）进行预测，预测的点估计为

其中是E（Y｜X0）的估计量。可以证明，这个点预测是一个最佳线性无偏估计量。

是一个估计量，不同于它的真实值E（Y｜X0）。因为是随机变量，的函数，因此，也是一个随机变量。

可以证明，是服从正态分布的，其均值为β1+β2X0，而方差为

用σ2的无偏估计量代替式（2.84）中的σ2，可得

其中se（）代表的标准误。可以证明，式（2.85）中t服从自由度为n-2的t分布。据式（2.85）可得到E（Y｜X0）的置信区间为

根据收入-消费例中数据（表2.4）可得

由此，可得到真实均值E（Y｜X0）=β1+β2X0的95%置信区间为

即

上式的意义为，给定X0=2000，在重复抽样中，每100个类似式（2.87）的区间将有95个包含着真实的均值；真实均值的单个最优估计就是点估计值1683.879。

对表2.4中的每个X值求类似于式（2.87）的置信区间，并把这些置信区间在二维直角坐标系中联结起来，我们就得到如图2.7所示的一个关于总体回归模型的置信域。

三、个值预测

如果我们想预测个别家庭的消费支出，即预测对应于给定X值（X=X0）的单个Y值（Y=Y0），其点预测为=+X0，为Y0的最佳线性无偏估计量。个值预测的点预测与均值预测的点预测结果相同，但其方差不同，区间预测的结果也不同。其方差为

可以证明，用代替σ2时，

服从t分布，可根据t分布推断Y0的置信区间，即对Y0进行区间预测。

在个值预测中，Y0-=，代表预测误差。的来源有两个，一个是的抽样误差，来自于我们对βj的估计，即Var（），它随样本容量的增大而变小。另一个是总体误差项u的方差σ2，它不随样本容量的变化而变化。

据式（2.89），可得到个值预测的置信区间为

以收入-消费模型为例进行个值预测。Y0的点预测与的点预测一样，同样是1683.879.在5%的显著性水平下，X0=2000时，（Y0-）的方差和标准误为

则Y0的置信区间为

即

可以看出个值预测的置信区间比均值预测的置信区间要宽。这是因为个值预测的误差除了来源于抽样波动外，还来源于误差项u的随机扰动，而均值预测的误差来源仅仅为抽样波动。

据表2.4中的每个X值求类似于式（2.91）的置信区间，并把这些置信区间在二维直角坐标系中联结起来，我们就得到如图2.7所示的一个关于Y的个值预测的95%的置信域。

在图2.7中，置信区间的宽度是随着X0与的距离而变化的。时，宽度最小。随着X0远置信区间的宽度变大。由此可知样本回归线对未来结果的预测能力随着X0远越来越低。因此，当进行均值或个值预测时，就必须慎重考虑它的可靠性。预测点距离样本期越远，其可靠性就越差。