2.3　不同幼儿园课程模式与早期儿童数学教育

在认知心理学和发展心理学众多理论的影响下，数学教育领域产生了不少的课程模式和方案，这些颇有特色的、符合儿童数学学习与发展规律的课程模式与方案为后来者提供了大量的参照，在进一步完善、发展早期儿童数学教育课程方面，带给我们很大的启发。

一、蒙台梭利课程与早期儿童数学教育

蒙台梭利是意大利幼儿教育家，被誉为在世界幼儿教育史上，自福禄贝尔以来影响最大的一个人。蒙台梭利早年从事医学，研究智力缺陷儿童的心理教育问题。1907年，她在罗马的贫民区开设了第一所“儿童之家”，将对智力缺陷儿童的教育方法应用于正常儿童。1914—1935年，蒙台梭利教育方法盛行于欧洲，后因法西斯政权而受阻，二战之后重新受到欧洲各国的欢迎。20世纪60年代在美国教育改革的呼声中风靡美国。迄今为止，蒙台梭利教育方法在幼儿教育中仍然有着广泛影响。

蒙台梭利教育体系中，感官教育占有特别重要的地位。从心理学角度讲，感官教育符合该时期儿童心理发展的状况；从教育学角度讲，从感官教育能引发出算术、语言、书写等。她把抽象的数学逻辑思维变成大量可进行实物操作的具体活动，让儿童在动手操作的过程中发现和认识各种数学知识和原理，从而帮助儿童获得坚实的数理基础和数学逻辑思维模式。

蒙台梭利课程中数学教育涵盖了算术、代数、几何三大方面的内容，其中数和量的认识、基本的四则运算是主要内容。具体包括数前教育和数学教育两部分：数前教育的具体内容包括观察与描述、比较、分类、排列、一一对应、相等化、组合与分解、背诵式计数等，感官教育中的配对、序列和分类是数前教育的三种基本操作；而数学教育内容包括了合理性计数，数的集合概念的形成，比较数的多少，建立数名、数量、数字统一的概念，了解0～10的基数的意义，学习10的合成，了解位值的表示方法，简单的加减运算，记忆性计算，等等。数前教育的目的是培养儿童初步的数理逻辑能力，而数学教育内容是让幼儿形成数概念和数的初步运算能力。

正因为蒙台梭利认为感官教育是数学教育的基础，所以她针对不同的数学教育内容，设计了不同的数学工作材料。例如，为了让儿童理解0～10的数字和数量，可运用的教具有数棒、砂数字板、纺锤棒及纺锤箱，等等。

数棒如图2-1所示，1是下面最短的一根，10是最长的一根，从1～10不断加长，并且由红色、蓝色两种颜色交替加长。这样就让儿童从感官上感受到从1～10，数量是不断增加的。

砂数字板如图2-2所示，板上有0～9这10个数字，数字是凸出来的，儿童可以用手触摸数字的书写。这个教具主要用于儿童前书写时期，认识这些数字，学习数字的书写。

纺锤棒及纺锤箱如图2-3所示，箱子上写着0～9这几个数字，数字几就对应着几根纺锤棒。儿童通过用手抓握不同数量的纺锤棒，感觉不同数量纺锤棒的多少，从而建立数字与数量之间的关系。

为了让儿童认识十进位的基本结构，蒙台梭利发明了教具金色串珠、数字卡片等。

图2-4和图2-5展示的是金色串珠及其操作情况。1个珠子代表1，串成一串的10个珠子代表数量10，然后以串成一串的10个珠子为一个单位组成的正方形代表100。如果让儿童摆出20这个数量，儿童应该知道拿两个“10”就可以了，而不用拿20个“1”。

除了计算方面，蒙台梭利还发明了很多其他工作材料促进儿童数学其他方面的发展。比如粉红塔（图2-6）可以促进儿童对大小的认识（大的放在下面，小的放在上面才稳）；三角形板（图2-7），可以让儿童透过视觉认识三角形及了解三角形与多边形的几何关系概念；棕色梯（图2-8）促进儿童正确地辨别粗、细，初步感知二维面积的差异，培养逻辑思维能力，等等。

以上简要列举了蒙台梭利教育中有关数学教育的工作材料及这些教具的教育思想和玩法。促进儿童数学发展的蒙台梭利工作材料还很多，比如为了学习奇数和偶数的“数字与筹码”，为了学习数字排列的“塞根板”，为了学习加法的“加法板”“订正板”“定规尺”“心算板”，等等，这里不再一一列举。总而言之，蒙台梭利课程的指导思想便是通过感官、触摸等方式学习抽象的数学知识。将感官教育与数学教育相结合可以说是蒙台梭利数学教育的经典内容。

另外，蒙台梭利教育法是一种带有玛利亚·蒙台梭利个人烙印的教育法，反映的是蒙台梭利个人的价值观。这种教育方法也有缺陷，并不完美，我们也不应该盲目追风。

二、海伊斯科普课程（High/Scope）与早期儿童数学教育

海伊斯科普课程发起于1962年，由韦卡特（D.P.Weikart）等人带动的这种早期儿童教育课程，是美国“开端计划”中第一批通过帮助处境不利的学龄前儿童摆脱贫困的学前教育方案。在这一教育方案中，儿童被随机抽取和分配，并允许研究者通过对参与该方案的儿童今后生活状况的考察来追踪该方案的作用。因此这一研究能显示海伊斯科普课程对儿童的短期和长期的好处，诸如更佳的入学准备、学业失败的减少、更低的留级率等。

海伊斯科普课程的设计者称，该课程的理论基础是皮亚杰的儿童发展理论。在课程第一阶段，他们主要关注为儿童进小学做准备的知识和技能学习方面；第二阶段，他们开始尝试把那些代表儿童该发展阶段水平的技能教给儿童；第三阶段，教师通过直接和表征的经验，以适合儿童发展水平的方式帮助儿童增强认知能力，而不是通过教授皮亚杰的技能去加速儿童的发展。

海伊斯科普课程目标是根据日内瓦研究课题——分类、排序、时间关系和空间关系而制定的。所以他们的课程非常关注认知发展的关键经验。在由霍曼、班纳特、韦卡特合著的《活动中的幼儿》一书中列出了49条儿童应该获得的关键经验。在此列出其中与数学认知相关的关键经验。

1.发展逻辑推理的关键经验

（1）分类

●注意并描述事物的异同，进行分类和匹配。

●描述事物所不具有的特征或不归属的类别。

●同时注意到事物一个以上的特征。

●区别“部分”和“整体”。

（2）排序

●比较：哪个更大（更小）、更重（更轻）、更粗糙（更平滑）、更长（更短）、更宽（更窄），等等。

●以最具某种特征来排列物体，并描述它们之间的关系（最长的、最短的，等等）。

（3）数概念

●比较数和量：多/少，等量；更多/更少，数量一样多。

●用一一对应的方式比较两个数群的数量。

●点数物体和唱数。

2.理解时间和空间的关键经验

（1）空间关系

●从不同的空间角度观察事物和场景。

●体验和描述物体和人的运动方向。

●体验和描述事物之间和地点之间的相对距离。

●学习确定教室、幼儿园以及周围环境中各种物体的位置。

●理解绘画和图片中所表征的空间关系。

●认识和描述各种形状。

（2）时间

●制订计划和完成计划。

●描述和表征过去的事件。

●用语言推测即将要发生的事件，并为此做好适当的准备。

●在讲述过去和将来的事件时，学习使用惯用的时间单位。

●比较时间的间隔（短、长、新、旧、年轻、年老、一会儿、长时间，等等）。

●注意观察钟表和日历，将其作为时间消逝的标记。

●观察季节的变化。

事实上，这些关键经验并非课程目标，它们可以通过适合儿童不同发展水平的多种活动获得。包含关键经验的活动不是相互排斥的，任何一个单独的活动都可以包含几种关键经验。

海伊斯科普课程是一套以促进儿童认知发展为导向的课程方案。该课程在儿童数学教育方面主要遵循皮亚杰关于儿童是知识主动建构者的观点，强调儿童数理逻辑知识的获得是儿童自我的经验建构的过程；强调从与儿童生活活动相关的关键经验入手，建构儿童关于分类、排序、数概念、时间和空间关系等关键概念，发展儿童的早期数学认知能力；强调教师作为儿童数学活动环境和材料的提供者，活动过程的积极鼓励者、支持者，在推动儿童积极参与到活动的选择、计划、讨论、操作、思考、表述与交流等过程中，通过发现问题和积极地解决问题获得与其关键经验有关的思维发展和逻辑推理能力的发展。

三、格里芬“数字世界”儿童数学课程中的数学教育

“数字世界”（NumberWorlds）儿童数学课程是由美国克拉克大学心理学教授莎朗·格里芬和新皮亚杰学派代表人物罗比·凯斯等研究者在有关儿童早期数概念发展的研究中提出的，这一课程的目的是培养儿童的数字感知能力，使其获得数学学习所需要的一些基本概念和能力。该课程是以凯斯的中心数概念结构理论为核心，意在促进学前到小学二年级这4个年龄阶段儿童中心数概念结构的发展的一套完整的数学课程。

（一）关于数概念的发展

格里芬和凯斯提出了儿童数概念发展过程中的中心数概念结构。中心数概念结构是由核心的数知识组成的，“它不仅是在大量数学和相关问题中任务执行的基础，而且进一步的数学学习也取决于现有的结构”。[38]他们的研究表明，儿童能在涉及时间、距离、音乐和钱币等众多领域运用这一中心数概念结构。[39]所以，为了促进儿童的数概念发展，格里芬和凯斯设计了培养儿童数字意识发展的数字世界。

格里芬认为，数学不仅仅包含数字概念，更重要的是包含量的概念。当儿童意识到每一个数字都代表一定的量，意识到数字比日常使用的“许多”“一点”等词语更能准确地对一定量进行描述的时候，数字才能对他们产生意义。因而，格里芬认为以物体的量以及量的各种表征形式为基本内容向儿童进行数学教育是非常关键的。

（二）“数字世界”课程中数学教育的基本内容

“数字世界”的主要目标是发展儿童数学学习中的关键性的中心概念结构，为数感的发展建立牢固的基础。具体涉及三个方面：一是帮助儿童整合计数、量以及符号的知识，并在三者间建立丰富的联系；二是让儿童感知在其所在的文化中数和量的主要表征方式及不同表征方式之间的联系，并意识到数字的相关价值；三是让儿童在由视觉到立体空间的学习情境中探索数字的意义和价值。[40]

“数字世界”儿童数学课程包含五个方面的基本内容，向儿童呈现了五种不同的数字表征形式。

1.实物表征

实物表征即用若干实物来表征数字，比如几枚硬币、几块糖、几根手指头。这些物体都是真实可触摸的，具有可分类的自然属性，可以供儿童进行直观的比较、探索、讨论。处于具体形象思维阶段的儿童应该多接触以实物表征的数量，尤其对于数学能力发展较弱的儿童，教师更应该多提供实物，以供儿童从具体的实物入手，慢慢抽象概括出其中的数与量。

2.图片表征

图片表征即将一定数量的图形以各种形式排列来表征数字，它将具体的实物和抽象的符号联系起来。教师所提供给儿童的图片，如5只小白兔的图片和4只小白兔的图片，在儿童的大脑中，模式是相同的，只是“5”比“4”多了一只小白兔。在这一阶段，教师可以给儿童提供一些卡片游戏或者骰子游戏。

3.排列表征

排列表征是指用横向连续的空格（类似于直线上的线段）来表征数字，用表示距离的语言描述数字。数字既可以表示线段上的某个特点的地方，如第3个点；也可以表示沿着路线移动的数量，如移动了3个格子。儿童可以借用直线上的距离来理解数与量，如图2-9。

4.高度表征

高度表征是指用条线图和刻度表征数字，用表示高度的语言描述数字，例如温度计或量身高的量尺。如图2-10，这种表征方式与排列表征类似，两者的最主要差别是变化的方向。

理解数字的高度表征有助于儿童在数字和量度之间建立联系，用标准单位来计量连续量。

5.循环表征

循环表征是指用钟面、刻度盘等来表征数字，它将周期性（自我重复的方式）纳入计量之中。儿童在生活中会经历许多周期性的过程，如儿童学习和睡觉的生活规律、太阳的升起和落下、一周的循环。这些表征方式对儿童来说有一定难度，因为儿童一般无法动态地看待世界，尤其是循环关系。

以上就是“数字世界”的五种表征，虽然这一课程主要针对数字这一中心数概念，但其课程设计并非单纯地让儿童认识数字，而是强调让儿童充分感知社会生活中数字的各种表征形式和表达方式，帮助儿童理解计数、量和表征符号三者之间的联系。而且“数字课程”开发设计了大量的教学活动实例，这些活动多以游戏或竞赛的形式展开，有助于培养儿童数学学习的兴趣和积极的学习态度。每个活动都有相应的活动材料，为幼儿搭建了实际操作、自主探究的平台。“数字世界”还强调在儿童获得数学感性经验的基础上，还应重视培养儿童的数学思维能力，而不仅仅是简单的操作。这一点应该对我们幼儿园数学教育有所启示。

本章小结

关于早期儿童数学学习与发展的起源及早期数学学习与发展的本质问题，不同的学派具有不同的解释。儿童数学认知的起源是基于数数机制，还是基于量的比较的机制？是先天的数感，还是后天的教育？争论的结果是，人们更倾向于认为人类的数学大脑既包括先天的数字模块，也包含后天的拓展模块功能的概念工具。其中数字模块是数字能力的内部核心，而概念工具则包括了拓展数字模块功能的文化资源。从个体发育角度看，儿童成长发育时，数字模块发育正常的情况下，儿童之间的能力差异完全是由源自文化的概念工具不同而决定的。在对待数学学习的问题上，基于知识观的不同，吸纳理论认为数学知识本质上就是事实的集合。数学学习就是一个被动接受事实的过程，即一个不断重复练习而形成记忆的过程。而认知理论认为，获取知识的过程就是内在自发性学习和建构关系的过程。这种关系的建构过程意味着儿童思考方式的改变。儿童数学学习过程就是去发现和建构数学关系、数学意义以及建立数学思考和数学表达的过程。

基于早期儿童数学学习与发展规律和特点的研究，由于关注的差异，形成了关于早期儿童数学学习与教育的不同理论流派。列乌申娜的早期儿童数学教育理论认为感觉过程是儿童认识事物和现象的质量与数量特征的基础。儿童数学概念的发展是在儿童自己多样的活动过程中、在和成年人的交往中以及成年人引导下的教学活动过程中实现的；以皮亚杰为代表的建构主义数学学习理论，认为儿童的数学学习是在与物质世界和人打交道的过程中，主动建构数学的关系和意义的；以格尔曼为代表的“数数模式”理论认为儿童的数数能力受到先天就有的内在的数数原则支配，它为儿童后来的数学能力发展提供了基础；以西格勒为代表的“数学策略”选择理论认为任何年龄的儿童都懂得并使用多种策略和表征，每一种策略或表征的选择或多或少都是同是否与问题和情境相适应有关。随着在不同的问题上使用不同的方法，这样就积累了大量的有关每种方法对具体类型的问题的相对适应性的信息，且逐渐会选择更具适应性的策略或表征。

在认知心理学和发展心理学众多理论的影响下，数学教育领域产生了不少的课程模式和方案。本章主要介绍了从感官教育出发，把抽象的数学逻辑思维变成大量可进行实物操作的具体活动，让儿童在动手操作的过程中发现和认识各种数学知识和原理，从而帮助儿童获得坚实的数理基础和数学逻辑思维模式的蒙台梭利教育模式；以促进儿童认知发展为导向，遵循皮亚杰知识建构观，强调关键经验建构的海伊斯科普课程；以发展儿童中心数概念结构为目标，强调让儿童充分感知社会生活中数和量的各种表征形式，帮助儿童理解计数、量和表征符号三者之间的联系的格里芬“数字世界”课程。

思考与练习

1.阅读并搜集有关文献资料，进一步理解早期儿童数学学习过程中数数与量的比较之间的关系。

2.比较四种数学学习理论，结合我国学前儿童数学教育的实际，分析其各自的优缺点，并尝试提出各理论对解决我国学前儿童数学教育实际问题的启示。

3.结合实际，思考我们在学前儿童数学教育中如何吸收和利用已有的相关数学课程模式。