考点3　初等数学模块

一、余数问题

基本关系式：被除数÷除数=商……余数（0≤余数<除数）

同余问题：当几个数除以同一个正整数m，所得余数相同，这几个数称为同余，并且这几个数两两做差得到的数能被m整除。

小试牛刀　1.三位数的自然数N满足：除以6余3，除以5余3，除以4也余3，则符合条件的自然数N有几个？（　）

A.8　B.9　C.15　D.16

【解析】C 本题属于同余问题。这个数减去3后是4、5、6的公倍数。最小公倍数是60，则符合条件的N 有123、183、243、303、363、423、483、543、603、663、723、783、843、903、963，共计15个。故选C。

2.一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排;如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排。这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？（　）

A.12　B.11　C.10　D.9

【解析】B 本题属于余数问题。设3人一排时共有X排，则3X=2（X+8），解得X=16，这时总人数为48。代入第二个条件检验，不满足。说明每一排不一定排满。且总人数应在48附近，检验知45、47、48、49、50、52符合第一个条件。代入第二个条件，只有52满足。所以该班有52人，按5人排应排11排。故选B。

二、约数倍数问题

如果a：b=m：n（m与n互为质数），则a是m 的倍数；b是n的倍数。a+b是m+n的倍数。

解题思路：根据数字的某种特性——约数或倍数关系，不直接求出结果，而能够直接锁定答案。

小试牛刀　1.有100个编号为1—100的罐子，第一个人在所有的编号为1的倍数的罐子中倒入1毫升水，第2个人在所有编号为2的倍数的罐子中倒入1毫升水……最后第100个人在所有编号为100的倍数的罐子中倒入1毫升水。问此时第92号罐子中装了多少毫升水？（　）

A.2　B.6　C.46　D.92

【解析】B 约数问题。92可以写为2×2×23，所以92的约数有2、4、23、46，加上1和92本身，共计6个。所以92号罐子共灌了6次水。故选B。

2.有甲、乙、丙三辆公交车于上午8：00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟，假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会几点？（　）

A.11点整　B.11点20分　C.11点40分　D.12点整

【解析】B 本题属于公倍数问题。第一次出发到下次同时到站间隔时间应该为40、25、50的最小公倍数200分钟，即3小时20分钟后，那时的时间为11点20分。故选B。

三、等差数列问题

等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2=平均数×项数=中位数×项数。

等差数列项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。

小试牛刀　1.五个连续的自然数，前三个数的和是120，那么后三个数的和是（　）。

A.124　B.126　C.179　D.131

【解析】B 等差数列问题。设这五个连续的自然数分别为a1，a2，a3，a4，a5（因为是连续的自然数，此数列为等差数列，公差d=1）。由题干可知a1+a2+a3=120，解得a1=39，所以a3+a4+a5=126。故选B。

2.某阶梯教室共有20排座位，已知每排比前一排多2个座位，又知最后一排共有48个座位，则该教室共有多少个座位？（　）

A.480　B.580　C.620　D.630

【解析】B 本题属于等差数列问题。末项为48，公差为2，项数为20的等差数列。首项为48-2×（20-1）=10，和为。故选B。

四、日期问题

星期日期问题是研究星期、日期间关系的问题。解题重点要学会判断大小月份、平年、闰年。

平年：年份不能被4整除，365天，2月28天。闰年：年份可以被4整除，366天，2月29天。

大月：一、三、五、七、八、十、十二月，每月31天。小月：四、六、九、十一月，每月30天。

小试牛刀　1.根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（　）。

A.周一或周三　B.周三或周日　C.周一或周四　D.周四或周日

【解析】D 日期问题。因8月有31天，而工作日为22天，则休息日为9天。因周六、周日两天是在一起的，而最终休息日为单数，因此要么本月第一天为周日，要么本月最后一天（8月31日）为周六，即8月1日可能是周四，也可能是周日。故选D。

2.某年份的2月有五个星期天，请问下一年的五一劳动节是星期几？（　）

A.星期一　B.星期二　C.星期三　D.星期四

E.星期五　F.星期六　G.星期天　H.无法计算

【解析】G 日期问题。2月有五个星期天，说明2月的月初和月末都是周日，因此这个2月有29天，即3月1日为周一，且这年为闰年。从3月1日至5月1日有62天，62÷7=8…6，因此5月1日为周六。下一年为平年，根据“逢平年星期加1天”，知下一年的5月1日为周日。故选G。

五、周期问题

某一列数字或某一种规律按照一定的规律不断重复出现，这种规律性问题就是周期问题。

周期问题解题思路：若一串事物以T为周期，且那么第A项等同于第a项。

小试牛刀　1.十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地循环报数。如果报1和报100的是同一人，那么共有多少个小朋友？（　）

A.10　B.11　C.13　D.15

【解析】B 周期问题。代入法，100÷11=9……1，符合题意。故选B。

2.30个人围坐在一起轮流表演节目，他们按顺序从1到3依次不重复地报数，数到3的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数，那么在仅剩一个人没有表演过节目的时候，共报数多少人次？（　）

A.77　B.57　C.117　D.87

【解析】D 考查周期问题。仅剩余1个人没有表演节目，即已经有29人表演过节目，每3人次报数中有1人会表演节目，29人表演过节目需要报数29×3=87人次。故选D。