1.2.4　古典概型

定义4　若随机试验满足以下两个特征：

（1）试验的样本空间只含有限个样本点，即S={e1，e2，…，en}；

（2）试验中每个样本点出现的可能性相同，即P（{e1}）=P（{e2}）=…=P（{en}）.

具有上述两个特征的试验称为古典概型（或称等可能概型）.

设试验E是古典概型，由于样本点之间两两互斥，因此

从而　　

若事件A含有k个基本事件，即，这里i1，i2，…，ik是1，2，…，n中某k个不同的数，则有

古典概型是概率论初期研究的主要对象，它概括了很多实际的随机现象问题，在概率论中具有很重要的作用.不难验证，古典概型满足概率公理化定义中所要求的三个性质.在运用古典概型计算事件概率的时候，经常会涉及排列和组合的相关知识.

（1）加法原理　设完成一件事共有m种方式，其中第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，……，第m种方式有nm种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm种方法；

（2）乘法原理　设完成一件事共有m个步骤，其中第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，……，第m个步骤有nm种方法，完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事总共有n1×n2×…×nm种方法；

（3）排列公式　从n个不同的元素中任取k个不同元素的排列总数为

从n个不同的元素中有放回地任取k（k≤n）个元素的排列总数为nk；

（4）组合公式　从n个不同的元素中任取k个不同元素的组合总数为

例2　将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况.

（1）设事件A1为“恰有一次出现正面”，求P（A1）；

（2）设事件A2为“第一次出现正面”，求P（A2）；

（3）设事件A3为“至少有一次出现正面”，求P（A3）.

解　S中包含有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，属于古典概型.

样本空间S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}，n=8；

（1）由于A1={HTT，THT，TTH}，所以；

（2）由于A2={HHH，HHT，HTH，HTT}，所以；

（3）由于A3={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH}，所以；

或由于，所以.

例3　设袋中装有5只黑球3只白球，现分别按下列三种不同方式抽取其中2只球：

（1）第一次取1只球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取1只球（不放回抽取）；

（2）第一次取1只球观察其颜色后放回袋中，第二次从袋中再取1只球（有放回抽取）；

（3）一次性任取袋中2只球.

设A=“所取2只球均为黑球”，求P（A）.

解　（1）不放回地抽取方式是元素不可以重复的排列问题.

8只球中不放回地抽取2只球的所有抽法为，事件A包含的抽法为，所以

（2）有放回地抽取方式是元素可以重复的排列问题.

8只球中有放回地抽取2只球的所有抽法为82=64，事件A包含的抽法为52=25，所以

（3）一次性任取方式是组合问题.

8只球中一次性任取2只球的所有抽法为，事件A包含的抽法为，所以

例4　设在箱中装有100个产品，其中有3个次品，现从这箱产品中任意抽取5个产品：

（1）设事件A1为“恰有一个次品”，求P（A1）；

（2）设事件A2为“没有次品”，求P（A2）；

（3）设事件A3为“至少有一个次品”，求P（A3）；

（4）设事件A4为“至多有一个次品”，求P（A4）.

解　100件产品中任意抽取5个产品的所有抽法为.

（1）由于事件A1包含的抽法为，所以；

（2）由于事件A2包含的抽法为，所以；

（3）由于事件A3包含的抽法为，所以

本题还可以利用逆事件的概率求解，由于事件A2和事件A3是互逆事件，所以

P（A3）=1-P（A2）=0.144；

（4）由于事件A4包含的抽法为，所以.

例5　将n只球随机地放入N（N≥n）个盒子中，试求每一个盒子至多有1只球的概率.

解　设A=“每一个盒子中至多有1只球”.

将n只球放入N个盒子中，每1只球都可以放入N个盒子中的任何一个盒子，所以共有N·N·…·N=Nn种不同放法，而每一个盒子至多放入1只球的不同放入方法共有种，所以

在现实生活中有很多实际问题和本例具有相同的数学模型，例如，假设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，那么随机选取n（n≤365）个人，则他们的生日各不相同的概率为.因此，n个人中至少有两人生日相同的概率为

经计算，当n=20时，p=0.411，当n=30时，p=0.706，当n=50时，p=0.970，当n=64时，p=0.997，当n=100时，p=0.999.可以看出，在50人左右的部门里，至少有两人生日相同的事件概率与1相差无及，如作调查的话，几乎是很大可能会出现的.

例6　从1～2000之间的整数中任取一个数，试求取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率.

解　设A=“取到的数能被6整除”，B=“取到的数能被8整除”，

C=“取到的数既不能被6整除，也不能被8整除”.则有，且

由于，因此，.

同理，可得.

由于，得到.所以