第二节 分块矩阵

［课前导读］

当矩阵的行数和列数较高时，为了证明或计算的方便，常把矩阵分成若干小块，把每个小块当作“数”来处理，这便是矩阵的分块．这一节我们将讨论矩阵的分块方式和分块矩阵的计算．在学习这一节之前，需要读者熟练掌握矩阵的线性运算、矩阵乘法和矩阵的转置运算．

一、分块矩阵的概念

对于行数和列数较高的矩阵A，运算时常用一些横线和竖线将矩阵A分划成若干个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．一个矩阵的分块方式会有很多种，例如，将4×5矩阵

划分成如下三种形式：

按（1）的分块，我们可以记为

其中

按（2）的分块，我们可以记为

其中

按（3）的分块，我们可以记为

A=（A11，A12，A13，A14，A15），

其中

第三种分块方式称为矩阵的按列分块．类似地，也有矩阵的按行分块，分块矩阵请读者写出．

对于线性方程组

其系数矩阵

按列分块可写成

A=（α1，α2，…，αn），

其中，表示A的第j列．记则该线性方程组的增广矩阵

按分块矩阵的记法，可记为

二、分块矩阵的运算

分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，不同的计算方式，分块的原则不同，下面分情况讨论．

（1）分块矩阵加（减）运算：设A、B都是m×n矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设

其中Aij和Bij的行数相同、列数相同，则有

例1　求矩阵的和A+B．

解　因为矩阵A与B都是4×4的矩阵，为了方便计算，我们用矩阵的分块来求A+B．先根据矩阵A的特点划分矩阵A，再根据矩阵加法的分块原则来划分矩阵B．将矩阵A与B写成分块矩阵如下：

于是，

而

所以

（2）分块矩阵的数乘运算：矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块

都有

所以在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定．

（3）分块矩阵的乘法：设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，要求矩阵A的列分块方式与矩阵B的行分块方式保持一致，而对矩阵A的行分块方式及矩阵B的列分块方式没有任何要求和限制．不妨设

其中Ai1，Ai2，…，Aik的列数分别等于B1j，B2j，…，Bkj的行数，则

其中　

例2　设求AB．

解　把矩阵A与B进行如下分块：

而

所以

（4）分块矩阵的转置：设

（5）分块对角阵：设A是n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是方阵，而其余子块都是零矩阵，即

其中Ai（i=1，2，…，t）都是方阵，这样的分块阵称为分块对角阵．

例3　设ei=（0，…，0，1，0，…，0）T为第i个分量为1而其余元素全为0的列向量，则n阶单位矩阵可以分块为En=（e1，e2，…，en）．将矩阵A按列分块为A=（A1，A2，…，An），其中Ak为矩阵A的第k个列向量，则有

（A1，A2，…，An）=A=AE=A（e1，e2，…，en）=（Ae1，Ae2，…，Aen），

从而有

Aek=Ak（k=1，2，…，n），

即Aek为矩阵A的第k列．同理，是矩阵A的第k行．易知是A的（k，l）元素．

例4　设A是m×n矩阵，如果对任意的n×1矩阵α都有Aα=O，证明A=O．

证明　由矩阵α的任意性，可选取α分别等于ej（j=1，2，…，n），根据例3则有

Aα=Aej=Aj=O（j=1，2，…，n），

所以A=O．

习题1-2

1. 设求AC及AB-BTA．

2. 设A是一个3阶方阵，矩阵利用分块矩阵的乘法求AB．

3. 设n阶方阵其中En-1表示n-1阶单位阵，证明：k=1，2，…，n-1，An=En．

4. 设A1，A2，…，As分别是ni（i=1，2，…，s）阶方阵，分块对角阵求Dk，其中k是正整数．