第一章 线性方程组与矩阵

第一节 矩阵的概念及运算

［课前导读］

线性方程组的求解是线性代数要研究的重要问题之一，而矩阵是求解线性方程组的核心工具．另一方面，矩阵理论在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用，是一些实际问题得以解决的基本工具．这一节我们通过线性方程组和矩阵的关系引出矩阵的定义，并给出矩阵的运算及运算性质．在正式学习矩阵之前，需要读者了解线性方程组的相关知识．

一、矩阵的定义

由m个方程n个未知量x1，x2，…，xn构成的线性（即：一次）方程组可以表示为

在线性方程组中，未知量用什么字母表示无关紧要，重要的是方程组中未知量的个数以及未知量的系数和常数项．也就是说，线性方程组（1-1）由常数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）和bi（i=1，2，…，m）完全确定，所以可以用一个m×（n+1）个数排成的m行n+1列的数表

来表示线性方程组（1-1）．这个数表的第j（j=1，2，…，n）列表示未知量xj（j=1，2，…，n）前的系数，第i（i=1，2，…，m）行表示线性方程组（1-1）中的第i（i=1，2，…，m）个方程，这个数表反映了线性方程组（1-1）的全部信息．反之，任意给定一个m行n+1列的数表，可以通过这个数表写出一个线性方程组．因此，线性方程组与这样的数表之间有了一个对应关系．

定义1　m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表

称为一个m×n矩阵，简记为（aij），有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为（aij）m×n．数aij位于矩阵（aij）的第i行第j列，称为矩阵的（i，j）元素，其中i称为元素aij的行标，j称为元素aij的列标．

一般地，常用英文大写字母A，B，…或字母α，β，γ，…表示矩阵，如A=（aij），B=（bij），Am×n，Bm×n等．

元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．本书中的矩阵除特别指明外，都是指实矩阵．

1×1的矩阵A=（a）就记为A=a．

1×n的矩阵

（a1，a2，…，an）

称为行矩阵，也称为n维行向量．

n×1的矩阵

称为列矩阵，也称为n维列向量．

所有元素都是零的m×n矩阵称为零矩阵，记为Om×n，或简记为O．

n×n矩阵

称为n阶方阵．元素aii（i=1，2，…，n）所在的位置称为n阶方阵的主对角线．

一个n阶方阵主对角线上方的元素全为零，即

称该n阶方阵为下三角矩阵．下三角矩阵的元素特点是：当i<j时，aij=0．

类似地，有上三角矩阵

上三角矩阵的元素特点是：当i>j时，aij=0．

n阶方阵

称为n阶对角矩阵，简称对角阵，记为diag（a1，a2，…，an）．

如果n阶对角矩阵diag（a1，a2，…，an）对角线上的元素全相等，即a1=a2=…=an，则称其为数量矩阵．当a1=a2=…=an=1时，这个数量矩阵就称为n阶单位矩阵，简称为单位阵，记为En或E，即

定义2　两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵．如果两个同型矩阵A=（aij）m×n和B=（bij）m×n中所有对应位置的元素都相等，即aij=bij，其中i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，则称矩阵A和B相等，记为A=B．

二、矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

定义3　设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n是两个同型矩阵，则矩阵A与B的和记为A+B，规定

同型矩阵的加法就是两个矩阵对应位置上元素的加法，由此易知矩阵的加法满足如下的运算规律：设A，B，C是任意三个m×n矩阵，则

（1）交换律：A+B=B+A；

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）；

（3）A+Om×n=Om×n+A=A．

对于矩阵A=（aij）m×n，称矩阵（-aij）m×n为矩阵A的负矩阵，记为-A．显然，A+（-A）=Om×n．由此可以定义矩阵A=（aij）m×n和B=（bij）m×n的减法为

A-B=A+（-B）=（aij-bij）m×n．

2. 矩阵的数乘

定义4　用一个数k乘矩阵A=（aij）m×n的所有元素得到的矩阵（kaij）m×n称为矩阵的数乘，记为kA或者Ak，即kA=Ak=（kaij）m×n．

如果k，l是任意两个数，A，B是任意两个m×n矩阵，则矩阵的数乘运算满足：

（1）k（A+B）=kA+kB；

（2）（k+l）A=kA+lA；

（3）（kl）A=k（lA）=l（kA）；

（4）1A=A；

（5）（-1）A=-A；

（6）0A=Om×n．

矩阵的加法和矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算．

例1　设求A+B和2A-B．

三、矩阵的乘法

定义5　设矩阵A=（aij）是一个m×p矩阵，矩阵B=（bij）是一个p×n矩阵，定义矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵C=（cij），其中矩阵C=（cij）的第i行第j列元素cij是矩阵A的第i行元素ai1，ai2，…，aip与矩阵B的第j列相应元素b1j，b2j，…，bpj的乘积之和，即

必须注意：只有当第一个矩阵（左边的矩阵）的列数与第二个矩阵（右边的矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘．

例2　求矩阵的乘积AB．

解　因为矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，乘积AB是一个2×3矩阵．按公式（1-2）有

例3　求矩阵的乘积AB及BA．

在例2中，矩阵A是2×3矩阵，矩阵B是3×3矩阵，所以乘积AB有意义，而矩阵B与A却不能相乘．在例3中，虽然乘积AB与乘积BA都有意义，但是AB≠BA．在例3中还看到，尽管A≠O，B≠O，仍旧有BA=O．所以在做矩阵乘法时，我们要注意：

（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA；

（2）尽管矩阵A与B满足AB=O，但是得不出A=O或B=O的结论．

但是，矩阵乘法仍满足下列运算规律（假设运算都是可行的）．

（1）结合律：（AB）C=A（BC）．

（2）矩阵乘法对矩阵加法的分配律：A（B+C）=AB+AC，（A+B）C=AC+BC．

（3）（kA）B=A（kB）=k（AB）．

（4）EmAm×n=Am×nEn=Am×n．

（5）Om×sAs×n=Om×n；Am×sOs×n=Om×n．

证明　这几个运算律的证明都是验证式的证明，在此我们只写出结合律的证明，而将其余证明留给读者．

设矩阵A=（aij）是一个m×s矩阵，矩阵B=（bij）是一个s×p矩阵，矩阵C=（cij）是一个p×n矩阵．由矩阵乘法的定义知，矩阵（Am×sBs×p）Cp×n与Am×s（Bs×pCp×n）都有意义，且都是m×n矩阵．由矩阵相等的定义，我们只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可．

矩阵Am×sBs×p中第i行元素为于是矩阵（Am×sBs×p）Cp×n中（i，j）元素为矩阵Am×sBs×p中第i行元素与矩阵Cp×n中第j列对应元素c1j，c2j，…，cpj乘积之和，即

同理可以验证矩阵Am×s（Bs×pCp×n）中（i，j）元素也是所以矩阵乘法的结合律成立．

例4　设有线性方程组

矩阵称为该线性方程组的系数矩阵．令按公式（1-2）有

再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：Ax=β．

由于矩阵乘法满足结合律，我们可以定义方阵的方幂如下：

并且规定：对非零方阵A，有A0=E．

方阵的方幂满足以下运算规律（这里k，l均为非负整数）：

AkAl=Ak+l；（Ak）l=Akl．

由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲（AB）k≠AkBk，（A+B）2≠A2+2AB+B2. 只有当A与B可交换（即AB=BA）时，公式

（AB）k=AkBk，（A+B）2=A2+2AB+B2，（A+B）（A-B）=A2-B2

等才成立．

例5　设矩阵求A2和A3.

四、矩阵的转置

定义6　设m×n矩阵把矩阵A的行换成同序数的列，得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为AT，即

矩阵的转置满足下面的运算规律（这里k为常数，A与B为同型矩阵）：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（AB）T=BTAT；

（4）（kA）T=kAT．

证明　这些性质的证明仍属验证式的证明，可仿照矩阵乘法性质的证明，留给读者自己验证．

例6　设矩阵求（AB）T．

解法一

所以

解法二

定义7　n阶方阵A如果满足AT=A，则称A为对称矩阵，如果满足AT=-A，则称A为反对称矩阵．

由定义可知，如果n阶方阵A=（aij）是对称矩阵，则aij=aji（i≠j；i，j=1，2，…，n）．如果n阶方阵A=（aij）是反对称矩阵，则aij=-aji（i≠j；i，j=1，2，…，n），且aii=0（i=1，2，…，n）．

例7　设矩阵A是m×n矩阵，证明：ATA和AAT都是对称矩阵．

证明　因为

（ATA）T=AT（AT）T=ATA，（AAT）T=（AT）TAT=AAT，

所以ATA和AAT都是对称矩阵．

习题1-1

1. 设写出为增广矩阵的线性方程组．

2. 设等式成立，求a，b，x，y．

3. 设计算

（1）A+2B，3A-B；　（2）ABT和ATB．

4. 设矩阵求（A+B）（A-B）．

5. 设矩阵求A2+3A-2B．

6. 计算下列各题：

7. 设求所有与A可交换的矩阵．

8. 设A是n阶矩阵，证明AT+A是对称矩阵，AT-A是反对称矩阵．

9. 设矩阵求An．