2.1 资金的时间玩法——现值和终值

货币时间价值主要体现在“现值”和“终值”的计算上。现值（Present Value）是指未来某一时点上一定量的货币折算到现在所对应的金额，通常记作P，在实际生活中，现值又称为本金。终值（Future Value）又称将来值，是现在一定量的货币折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F，在实际生活中，终值又称为本利和（本金与利息之和）。

终值和现值的差额即为货币时间价值，货币时间价值具体表现为利率。

货币时间价值的计算有两种方法：一是只就本金计算利息的单利法；二是不仅本金要计算利息，利息也要计算利息，即俗称“利滚利”的复利法。

公式1 单利终值

【公式简介】

单利是指只对借贷的原始金额（本金）支付或收取的利息，我国银行一般使用单利计算利息。单利终值是指按单利计算出来的本金与未来利息之和，一般用字母F表示。

【公式原文】

F=P+I=P+P×i×t=P×（1+i×t）

【参数说明】

F——终值（本利和）；

P——现值（本金）；

I——利息；

i——利率；

t——时间。

【公式演练】

【例2-1】甲将1000元存入银行，银行年利率为3.5%。分别计算1年后、3年后该笔存款的终值。

【解析】

根据题干可知，本金（P）为1000元，利率（i）为年利率3.5%，时间（t）分别为1年和3年。根据公式“F=P×（1+i×t）”计算如下。

① 当t为1年时，F=1000×（1+3.5%×1）=1035（元）。

② 当t为3年时，F=1000×（1+3.5%×3）=1105（元）。

综上，甲这笔存款1年后的终值为1035元，3年后的终值为1105元。

公式2 单利现值

【公式简介】

单利现值是资金现在的价值，单利现值的计算就是确定未来终值的现在价值。单利现值一般用字母P表示。

【公式原文】

P=F-I=F-F×i×t=F×（1-i×t）

【参数说明】

P——现值（本金）；

F——终值（本利和）；

I——利息；

i——利率；

t——时间。

【公式演练】

【例2-2】甲为了3年后能从银行取出30000元，在银行存款年利率为5%的情况下，甲现在应存入银行多少钱？

【解析】

根据题干可知，终值（F）为30000元，利率（i）为年利率5%，时间（t）为3年。根据公式“P=F×（1-i×t）”，P=30000×（1-5%×3）=25500（元）。

公式3 复利终值

【公式简介】

复利又称“利滚利”，是指每经过一个计息期，都要将本金和上期所产生的利息加在一起再计算利息，逐期滚动计算。

复利终值是指一定数量的本金在一定的利率下按照复利的方法计算出的若干时期以后的本金和利息。通俗地讲，如果将一笔资金存入银行，年利率为i，每年计息一次，则n年后的本利和就是复利终值。

【公式原文】

① 一年后的复利终值计算公式

F1=P+P×i=P×（1+i）

② 两年后的复利终值计算公式

F2=F1+F1×i

=F1×（1+i）

=P×（1+i）×（1+i）

=P×（1+i）2

③ n年后的复利终值计算公式

F=P×（1+i）n

【参数说明】

P——现值（本金）；

n——计算利息的期数；

（1+i）n——复利终值系数，记作（F/P，i，n）。

【公式演练】

【例2-3】甲将1000元存入银行，年利率为4%，试计算该笔存款5年后的复利终值。已知（F/P，4%，5）=1.2167。

【解析】

根据资料可知，甲这笔钱存入银行的期限为5年，故应根据公式“F=P×（1+i）n”进行计算，即F=1000×（1+4%）5=1000×（F/P，4%，5）=1000×1.2167=1216.7（元）。

公式4 复利现值

【公式简介】

复利现值是指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在的价值，即为取得未来一定本利和现在所需要的本金。

由终值求现值也称为折现，折算时使用的利率称为折现率。通俗地讲，如将n年后的一笔资金F，按年利率i折算为现在的价值，就是复利现值。

【公式原文】

【参数说明】

——复利现值系数，记作（P/F，i，n）。

【公式演练】

【例2-4】甲企业计划4年后进行技术改造，需要资金2200000元，拟在银行年利率为5%时向银行存入一笔款项。计算甲企业要想在4年后得到足够的资金，现在应该存入银行的款项为多少？已知（P/F，5%，4）=0.8227。

【解析】

根据公式，可得出P=2200000×［1÷（1+5%）4］=2200000×（P/F，5%，4）=2200000×0.8227=1809940（元）。

公式5 普通年金终值

【公式简介】

普通年金又称为后付年金，它是年金的最基本形式，是指从第一期开始，在一定时期内每期期末等额收付款的年金。

普通年金终值是指普通年金最后一次收付时的本利和，它是每期收付款项的复利终值之和。

【公式原文】

【参数说明】

FA——普通年金终值；

A——每年收入的金额（年金）；

i——利率；

n——期数；

——年金终值系数，记作（F/A，i，n）。

【公式演练】

【例2-5】甲公司每年在银行存入50000元，银行存款年利率为6%，计划在10年后更新设备，计算甲公司到第10年末能筹集的资金总额。已知（F/A，6%，10）=13.1808。

【解析】

根据资料可知，甲公司每年向银行存入的金额A=50000，利率i=6%，期数n=10。根据公式，FA=A×（F/A，6%，10）=50000×13.1808=659040（元）。

公式6 普通年金现值

【公式简介】

普通年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收付的相等金额折算到第一期初的现值之和，普通年金现值一般用PA表示。简言之，普通年金现值的计算就是已知年金A，求年金现值PA。

【公式原文】

【参数说明】

PA——普通年金现值；

A——每年收入的金额（年金）；

i——利率；

n——期数；

——年金现值系数，记作（P/A，i，n）。

【公式演练】

【例2-6】分析并计算以下业务。

（1）小王将5万元钱存入银行，假定银行存款年利率为5%，第5年末小王可以取出多少本利和？

（2）小王计划每年末通过银行存入5万元，连续存5年，假定银行存款年利率为5%，则第5年末其存款账面本利和为多少？

（3）小王希望第5年末可以取出5万元本利和，假定银行存款年利率利率为5%，则小王现在应一次性存入银行多少钱？

（4）小王希望未来5年每年年末都能取出5万元，假定银行存款年利率为5%，计算现在应该一次性存入银行多少钱？

已知（F/P，5%，5）=1.2763，（P/F，5%，5）=0.7835，（F/A，5%，5）=5.5256，（P/A，5%，5）=4.3295。

【解析】

业务（1），一次性存入5万元，求第5年末的本利和，实质上是已知现值，求复利终值。根据公式“F=P×（1+i）n=P×（F/P，i，n）”计算，可得出F=50000×（F/P，5%，5）=50000×1.2763=63815（元）。

业务（2），每年年末存入5万元，连续5年存入相同金额，求第5年年末本利和，实质上是求年金终值。根据公式“FA=A×=A×（F/A，i，n）”，FA=50000×（F/A，5%，5）=50000×5.5256=276280（元）。

业务（3），第5年年末取出5万元的本利和，求现在一次性应存入银行多少钱，实质上是已知复利终值，求复利现值。根据公式“P=F×=F×（P/F，i，n）”，P=50000（P/F，5%，5）=50000×0.7835=39175（元）。

业务（4），未来5年每年年末都能取出5万元，求现在应该存入多少钱，实质上是年金现值。根据公式“PA=A×=A×（P/A，i，n）”，PA=50000×（P/A，5%，5）=50000×4.3295=216475（元）。

公式7 预付年金终值

【公式简介】

预付年金又称先付年金和即付年金，是指从第一期开始，在一定时期内每期期初都有等额收付款的年金。

预付年金终值是指在一定时期内，从第一期起，按相等的金额在每期期初收付的系列款项的终值，又称即付年金终值。

【公式原文】

或者：

FA=年金×预付年金终值系数=A×［（F/A，i，n+1）-1］

【参数说明】

（F/A，i，n+1）-1——预付年金终值系数，其是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1求得的，也可表示为。

与普通年金终值相比，预付年金终值是从每期期初开始收付款，而普通年金终值是从每期期末开始收付款，因此计算预付年金终值实质上比计算普通年金终值时多计算一期利息收入。

预付年金（即付年金）终值系数与普通年金终值系数的关系：期数+1，系数-1。

【公式演练】

【例2-7】张三打算购买一套住房，有两种付款方式：一种是一次性支付600000元，另一种是每年年初支付80000元，10年付讫。由于资金不充裕，张三计划向银行贷款用于支付房款。假设银行贷款年利率为5%，采用复利计息。根据以上资料，分析张三采用哪种方式最有利？

已知（F/P，5%，10）=1.6289，（F/A，5%，10）=12.5779，（F/A，5%，11）=14.2068。

【解析】

如果采用第一种付款方式，则相当于付现值为600000元；如果采用第二种付款方式，则相当于一个10年的预付年金。因此，为了对两种方式进行比较，需要进行换算，即将两种方式下的付款额都换算为10年后的终值。

（1）第一种付款方式下，10年后的复利终值：F=600000×（F/P，5%，10）=600000×1.6289=977340（元）。

（2）第二种付款方式下，10年后的预付年金终值可分为以下两种计算方式。

① 根据公式“FA=A×（F/A，i，n）×（1+i）”，FA=80000×（F/A，5%，10）×（1+5%）=80000×12.5779×1.05=1056543.6（元）。

② 根据公式“FA=A×［（F/A，i，n+1）-1］”，FA=80000×［（F/A，5%，10+1）-1］=80000×［（F/A，5%，11）-1］=80000×（14.2068-1）=1056544（元）。

以上两种方式计算结果存在的误差是由于年金系数中保留的小数点位数造成的。

两种付款方式相比较，1056543.6元（或1056544元）＞977340元，张三应选择第一种支付方式，即一次性支付600000元。

公式8 预付年金现值

【公式简介】

预付年金现值是指将多期时间间隔相同、每期期初收付相同的年金折算到第一期期初的现值之和。

【公式原文】

或者：

PA=年金×预付年金现值系数=A×［（P/A，i，n-1）+1］

【参数说明】

（P/A，i，n-1）+1——预付年金现值系数，其是在普通年金现值系数的基础上，期数减1，系数加1求得的，也可表示为。

预付年金与普通年金的付款期数相同，但由于付款时间的不同，预付年金现值比普通年金现值少折算一期利息。预付年金现值系数与普通年金现值系数的关系：期数-1，系数+1。

预付年金现值系数可通过查询“普通年金现值系数表”得出。首先通过“普通现金现值系数表”查出（n-1）期的值，然后在该值的基础上加上1，即可得出对应的预付年金现值系数的值。

【公式演练】

【例2-8】沿用【例2-7】的资料，通过比较现值的方式判断哪种支付方式更有利。

已知（P/A，5%，10）=7.7217，（P/A，5%，9）=7.1078。

【解析】

（1）第一种支付方式是一次性支付600000元，其实质就是现值，不用转换。

（2）第二种支付方式是分期支付，其现值可通过以下两种方式计算。

① 根据公式“PA=A×（P/A，i，n）×（1+i）”，PA=80000×（P/A，5%，10）×（1+5%）=80000×7.7217×1.05=648622.8（元）。

② 根据公式“PA=A×［（P/A，i，n-1）+1］”，PA=80000×［（P/A，5%，10-1）+1］=80000×［（P/A，5%，9）+1］=80000×（7.1078+1）=648624（元）。

两种付款方式相比较，648624元（或648622.8元）＞600000元，张三还是应选择第一种支付方式，即一次性支付600000元。

公式9 递延年金终值

【公式简介】

递延年金是指从第二期或第二期以后开始收付款的年金。递延年金是普通年金的特殊形式，其年金终值的计算方法与普通年金终值的计算方法相似。

【公式原文】

假设最初有m期没有收付款项，后面n期有等额的收付款项，则递延年金终值的计算如下。

FA=A×（F/A，i，n）

【参数说明】

n表示的是A的期数，与递延期（m）无关。递延年金终值的大小也与递延期（n）无关。

【公式演练】

【例2-9】有一项递延年金，前4年无流入，后5年每年年初流入100000元，年利率为5%，计算该项递延年金的年金终值。已知（F/A，5%，5）=5.5256，（F/A，5%，9）=11.0266。

【解析】

递延年金中n表示的是A的期数，与递延期（n）无关，所以本题中n为5年，而不是9年。

根据公式“FA=A×（F/A，i，n）”，FA=100000×（F/A，5%，5）=100000×5.5256=552560（元）。

公式10 递延年金现值

【公式简介】

递延年金现值是指间隔一定时期后每期期末或期初收入或付出的系列等额款项，按照复利计息方式折算的现时价值，即间隔一定时期后每期期末或期初等额收付资金的复利现值之和。

【公式原文】

递延年金现值的计算方法包括以下3种。

① 先将递延年金视为n期普通年金，求出在递延期期末的普通年金现值，然后再折算到现在，即第0期价值，计算公式如下：

PA=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

② 先计算m+n期年金现值，再减去m期年金现值，计算公式如下：

PA=A×［（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）］

③ 先计算递延年金终值再折算为现值，计算公式如下：

PA=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）

【参数说明】

m——递延期；

n——连续收支期数，即年金期。

【公式演练】

【例2-10】甲公司向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为8%，每年复利一次。银行规定前5年不用还本付息，但从第6年至第10年每年年末偿还本息10000元。要求：用递延年金现值的3种计算方法计算该笔款项的现值。已知（P/A，8%，5）=3.9927，（P/A，8%，10）=6.7101，（P/F，8%，5）=0.6806，（P/F，8%，10）=0.4632，（F/A，8%，5）=5.8666。

【解析】

根据题干可知，A=10000元，m=5，n=5。

方法一：

根据公式“PA=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）”，PA=10000×（P/A，8%，5）×（P/F，8%，5）=10000×3.9927×0.6806=27174.32（元）。

方法二：

根据公式“PA=A×［（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）］”，PA=10000×［（P/A，8%，10）-（P/A，8%，5）］=10000×［6.71013.9927］=10000×2.7174=27174（元）。

方法三：

根据公式“PA=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）”，PA=10000×（F/A，8%，5）×（P/F，8%，10）=10000×5.8666×0.4632=27174.09（元）。

因各系数的小数点位数保留，3种计算方法的结果会有较小的差异。

公式11 永续年金现值

【公式简介】

永续年金是指无期限支付的年金，由于持续期无限，没有终止时间，所以永续现金没有终值，只有现值。

永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。

【公式原文】

【参数说明】

由于A、i属于有范围的数值，当n趋向于无穷大时，，因此，。

【公式演练】

【例2-11】某基金为支持汶川灾后重建，每年向该县资助善款500000元。善款保存在中国建设银行该县支行，假设银行存款年利率为4%，则该基金必须要在银行存入多少钱作为善款？

【解析】

由于每年都要拿出500000元，因此该笔善款的性质属于永续年金，其现值的计算如下：PA（n→∞）=A÷i，即PA（n→∞）=500000÷4%=12500000（元）。

因此，该基金必须要在银行存入12500000元作为善款。

公式12 年偿债基金

【公式简介】

年偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额而必须分次等额形成的存款准备金，即为使年金终值达到既定数额，而必须分次等额准备的存款准备金。

【公式原文】

【参数说明】

——偿债基金系数，记作（A/F，i，n）。

【公式演练】

【例2-12】甲拟在10年后偿还50000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款年利率为5%，则甲某每年须存入银行多少钱？已知（F/A，8%，10）=14.4866。

【解析】

通过题干分析可知，本题属于已知终值F，求年金A，即计算年偿债基金。

由于年偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数，所以根据公式，“A==FA×（A/F，i，n）”，A==50000×1/14.4866=3451.47（元）。

公式13 年资本回收额

【公式简介】

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本的金额或清偿所欠债务的金额。

年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。

【公式原文】

【参数说明】

——资本回收系数，记作（A/P，i，n）。

年资本回收额与普通年金现值互为逆运算，资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。

【公式演练】

【例2-13】乙公司从丙公司借得500000元贷款，丙公司要求乙公司在5年内以年利率10%等额偿还。计算乙公司每年应偿还给丙公司的金额为多少？已知（P/A，10%，5）=3.7908。

【解析】

根据题干可知，本题属于已知现值P，求年金A，即计算年资本回收额。

由于资本回收系数和普通年金现值系数互为倒数，所以根据公式“A==PA×（A/P，i，n）”，A=，即A=500000×1÷3.7908=131898.28（元）。