3.1 古印度数学

3.1.1　古印度数学的主要成就

（1）《绳法经》

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（2）古印度的十进制计数法

（3）古印度的算术与代数学

（4）古印度的几何学

（5）三角学

人物小史与趣事

阿利耶毗陀

阿利耶毗陀（5—6世纪）是古印度首屈一指的数学家及天文学家，他在天文学方面最著名的学说是他的“日心说”。阿利耶毗陀的《阿利耶毗陀论》在公元8—9世纪被译成阿拉伯文，之后传入处于文艺复兴前夕的意大利佛罗伦萨以及欧洲其他地方。哥白尼于1500～1503年曾在意大利留学，因此完全有可能接触到阿利耶毗陀的学说。《阿利耶毗陀历数书》提出了子夜作为一天的开始的科学观念。

阿利耶毗陀提出的以数学作为天文学研究的基础科学方法，对于印度后世天文学的发展产生了深远的影响。

A. L. 巴沙姆认为：“在数学方面，西方世界受惠于古印度的程度无论怎样估量都不会过度。若是没有发达的数字系统，大多数欧洲引以自豪的伟大发明都是不可能的，如果欧洲一直被不方便使用的罗马数字所束缚，这些发现与发明也都是不可能的。”美国科学史学者萨尔顿也曾经指出：“我们现在所使用的数字和零，是印度教徒发明的，然后经由阿拉伯人传给我们。”这些评价总算厘清了事实，无疑是得当的。零的概念是在古印度形成的，和古印度宗教哲学中的“空”的观念有关。无穷大似乎也和古印度哲学中认为宇宙本源是无限的这一观念有关。零与无穷大的概念，直到中古时期才得到完全的理解。

公元5世纪的阿利耶毗陀在数学方面最引人瞩目的成就是计算出了圆周率π的近似值是3.1416。同时期我国南朝伟大的数学家祖冲之也计算出了圆周率的值，他推算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间。应当说阿利耶毗陀和祖冲之代表了当时世界数学的最高成就，他们计算出的圆周率值比古希腊人精确。随后，印度的数学家们又将圆周率的值计算到小数点后9位。

3.1.2　河谷文明时期与吠陀时期

（1）河谷文明时期

由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期古印度数学的实际情况了解得很少。古印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中。

此时期的当地人已能建造房屋、排水沟、建设城市等，可见当时已有了大量计算方面的知识。

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从印度哈拉帕地区出土的陶器和青铜器上，我们看到了直线、矩形、三角形、圆等一些几何图形，可见当时已有了一些几何知识。

那个时期古印度的达罗毗荼人使用的文字至今不能被完全识读，因而当时的数学发展水平尚不清楚。

（2）吠陀时期

创造了十进制计数法。

有了四则运算、开方运算和分数运算等。

讨论了几何作图问题。

研究了圆的有关性质。

研究了排列组合问题。

3.1.3　悉檀多时期

悉檀多时期是古印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿耶波多（476—550）、婆罗摩笈多（598—665）、马哈维拉（公元9世纪）和婆什伽罗（1114—1185）等。

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（1）阿耶波多

（2）婆罗摩笈多

（3）马哈维拉

（4）婆什伽罗

人物小史与趣事

阿耶波多（476—550），现在知道的古印度最早的数学家和天文学家。其生平现在的人们知道的甚少。其著作主要有二部，一本是《阿耶波多历数书》，另一本是《雅利安悉檀多》。《阿耶波多历数书》中阿耶波多论述了计数法，整数的运算法则，自然数平方，立方求和公式，分数的约分和通分法则，三率法、算术数列、三角垛等算术问题，假设法、逆行法和特殊的线性方程组解法及一次不定方程（组）的解法。1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。

阿耶波多的数位体系

公元3世纪首次使用的数位体系也在阿耶波多的著作中出现，虽然他没有开始使用符号，但法国数学家乔治•爱法尔认为阿耶波多在他的著作中暗示了将0作为10的指数运用在系数为1的变量前。然而，阿耶波多并没有使用婆罗米文中的数学符号，而是使用字母表中的字母去代表数字。

阿耶波多的出生地

阿耶波多出生于拘苏摩补罗，距现今的巴特拉不是很远。巴特拉当时叫华氏城，是一座有名的古城，释迦牟尼晚年曾行教至此。华氏城先后是孔雀王朝、笈多王朝的都城。公元5世纪初，即阿耶波多出生前近一个世纪，我国的高僧法显曾在华氏城的佛教寺院从事学术活动。

阿耶波多与《阿耶波多历数书》

《阿耶波多历数书》是古印度的数学著作，由印度数学家、天文学家阿耶波多著，完成于公元499年。该书共有诗121行，分为四部分。

第一部分13行为引言，其中10行以非常简略的形式给出了阿耶波多的天文系统中最重要的数据。他采用了特殊的字母符号，如给出地球直径是1050尤加那，太阳直径为4410尤加那，月亮直径是315尤加那，还给出了太阳系中其他行星的直径。

第二部分论述数学，共33行。

第三部分共25行，有关计时与行星模型，属于天文历法内容。

第四部分共50行，是关于球的测量。

《阿耶波多历数书》主要涉及：计数法；整数的运算法则；自然数平方、立方等求和公式；分数约分和通分法则；三率法、算术序列、三角垛等算术问题；假位法、逆推法、特殊的线性方程组解法及一次不定方程（组）解法；建立“库塔卡”算法（粉碎法）解一次不定方程；从利息问题引出的二次方程求根公式；直线形面积公式；勾股定理，并借此解决弓形中弦矢关系及相交两圆弦矢关系的问题。

人物小史与趣事

婆罗摩笈多（598—665），印度著名数学家和天文学家，属于乌贾因学派。他的著作主要有两部：《婆罗摩修正体系》和《肯德卡迪亚格》。这两部虽是天文学著作，但都涉及了数学。婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位。

婆罗摩笈多的负数概念

婆罗摩笈多提出的负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表示负数，并给出了负数的运算法则。如“两个正数之和为正数，两个负数之和为负数，一个正数和一个负数之和等于它们的差”；再如“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，两个正数的乘积为正数”等。婆罗摩笈多的负数概念及加减法则仅晚于中国《九章算术》，而早于世界其他各国，他的负数乘除法法则在世界都是领先的。

解佩尔方程

婆罗摩笈多在数学上最突出的贡献就是解佩尔方程。1767年，J．L．拉格朗日运用连分数理论，给出了佩尔方程的完全解答。事实上，婆罗摩笈多早在公元628年便几乎完全解出了这种方程，只是当时不为欧洲人所知。后来，他的解法被婆什伽罗改进。

婆什伽罗

婆什伽罗（1114—1185），印度中世纪著名的数学家和天文学家。他出生于婆罗门族家庭，成年后效力皇家，长期主持天文台工作。他著有多部与天文学有关的著作，如《莉拉沃蒂》《算法本源》等。婆什伽罗比牛顿、莱布尼茨早五个世纪构想了微积分，被他们视为微积分的创立者。他也因证明了任何数除以0是无穷大、无穷大除以任何数依然是无穷大而著称。

算数书《Lilavati》的故事

据说婆什伽罗占星，预知他的女儿Lilavati（莉拉沃蒂）的丈夫会在婚后很快死去。为避免这个悲剧发生，婆什伽罗要在一个他用一种特殊仪器测量的精确的时间地点举办婚礼。

他把仪器放在一个房间，并放上警示提醒Lilavati不要靠近。但Lilavati好奇，往仪器里窥视，刚巧她鼻环上的一颗珍珠掉了进去，干扰了仪器。

婚礼在错误的时间举行，Lilavati很快就成了寡妇。据传婆什伽罗教授了她很多数学来给她散心，并为她写成了算数书《Lilavati》。

婆什伽罗妙算

婆什伽罗编的许多数学题被人称作“印度问题”，在很多国家广泛流传。其中有一道著名的数学题如下。

某人对他的朋友说：“如果你给我100枚铜币，我将比你富2倍。”

朋友回答说：“你只要给我10枚铜币，我就比你富6倍。”

问两人各有多少铜币？

婆什伽罗发现了一种很巧妙的算法：设这个人有2x=70，即两人分别有40和170枚铜币。

我国古代数学著作《张邱建算经》里有一个类似的题目：“有甲、乙两人携钱各不知其数，若乙给甲十钱，则甲比乙所多的是乙余数的5倍；若甲给乙十钱，则两人钱数相等。问甲、乙各有多少钱？”

更早些，《希腊文集》里已有了著名的“欧几里得问题”的记载：“驴子和骡子驮着货物并排走在大路上，驴子不住地抱怨驮的货物太重，压得受不了。骡子对它说：‘你发什么牢骚啊！我驮的比你更重。如果你给我1口袋，我驮的货物就是你的2倍；而我给你1口袋，咱俩才刚好一般多。’问驴子和骡子各驮了几口袋货物？”