§2　方差

一、方差的定义

有两批钢筋，每批各10根，它们的抗拉强度指标如下：

第一批　115，120，120，120，120，125，130，130，135，135；

第二批　90，100，105，120，125，135，135，135，145，160。

它们的平均抗拉强度都是125。但是，质量要求抗拉强度指标不低于115。那么，第二批钢筋的抗拉强度指标较差：其一取值较分散，抗拉强度指标有的较大，有的较小，与其均值偏差较大；其二，不合格的根数较多，实用价值差。

可见，只靠期望值（平均值）还不足以说明随机变量的分布特征，还必须研究随机变量取值与其平均值的偏离程度。

定义2.1　设X是一个随机变量，若E［X-E（X）］2存在，则称E［X-E（X）］2为X的方差（variance，dispersion），记为var（X）（或σ2（X）），即

var（X）=E［X-E（X）］2　　（2.1）

在应用上还需要引入与随机变量X具有相同量纲的量（或σ（X）），称其为标准差。

关于随机变量的数学期望（平均值）有一重要结果：设k为任一实数，随机变量X关于k的平方误差的均值E（X-k）2可视为k的函数，记作f（k），即f（k）=E（X-k）2，可以证明，当k=EX时，f（k）达到最小值f（EX）=E（X-EX）2，这个最小值恰好是X的方差，证明过程由读者自行完成。

这个极值等式的概率意义是，若欲用一个实数集中代表一个随机变量，则随机变量的数学期望是最理想的。这再一次说明了数学期望表示了随机变量取值的集中位置，而方差，则表示了随机变量的取值相对于它的数学期望的集中程度。具体而言，若随机变量的取值比较集中在其数学期望附近，则它的方差较小；反之，若取值相对于数学期望比较分散，则方差较大。

二、方差的计算公式

由定义知，方差实际上就是随机变量X的函数g（X）=［X-E（X）］2的数学期望，于是对于离散型随机变量X，设其分布律为

P{X=xk}=pk　（k=1，2，3，…）

则 　　 　　 （2.2）

对于连续型随机变量X，设其分布密度为f（x），则

　　 （2.3） 　　

计算方差，往往使用下面公式

var（X）=E（X2）-［E（X）］2　　（2.4）

证明　由方差的定义及数学期望的性质有

下面推导几种重要的随机变量的方差。

【例1】　设X～P（λ），求var（X）。

解　（k=0，1，2，…；λ>0）

我们已知E（X）=λ，下面计算E（X2）

由此可知，对于服从泊松分布的随机变量的期望与方差都等于参数λ，因为泊松分布只含有一个参数λ，因此只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了。

【例2】　设X在（a，b）上服从均匀分布，求var（X）。

解　因为X的分布密度为

我们已知，利用方差的计算公式，则有

【例3】　设X～N（μ，σ2），求var（X）。

解　X的概率密度为

令，得

由本章§1例4知，若X～N（μ，σ2），则E（X）=μ，现又推得var（X）=σ2，这说明正态分布的随机变量完全由它的数学期望和方差所确定。

设随机变量X存在数学期望E（X）与方差var（X），则随机变量

　　 （2.5） 　　

称为随机变量X的标准化，显然它满足

E（X*）=0，var（X*）=1

例如，若X～N（μ，σ2），则（0，1）。

在实际应用中，一般随机变量都具有度量的单位，为了摆脱度量单位对处理过程及其结果的影响，可以通过式（2.5）标准化，得到无量纲的标准化随机变量X*。

为了使方差能够更准确地描述随机变量的取值相对于它的数学期望（均值）的分散程度（集中程度的对立面），应该考虑单位均值上的标准差，即，它与随机变量X的单位无关。

定义2.2　设X是一个随机变量，若E（X）和var（X）存在，则称为X的变异系数（coefficient of variation），记作CV（X），即

　　 （2.6） 　　

三、方差的性质

下面介绍方差的几个重要性质（以下假设随机变量方差存在）。

（1）设C是常数，则var（C）=0。

（2）设X是随机变量，C是常数，则有var（CX）=C2var（X）。

（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则

var（X+Y）=var（X）+var（Y）

（4）var（X）=0的充分必要条件是X以概率1取常数C，即

P{X=C}=1

显然，这里C=E（X）。证略。

下面只证明（3）。

由于X，Y相互独立，X-E（X）与Y-E（Y）也相互独立，由数学期望的性质知

所以　　var（X+Y）=var（X）+var（Y）

这一性质可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况。

需要指出的是，相互独立的随机变量之和的方差，等于各随机变量方差之和这一结论，是方差的一条极为重要的性质，称为方差的可加性。与均值的可加性（随机变量之和的均值，等于各随机变量均值之和）相比较，方差的可加性要求各随机变量相互独立，而均值的可加性不需要任何独立性条件。

【例4】　设X～B（n，p），求var（X）

解　设Xi的分布律为

且X1，X2，…，Xn相互独立。由第二章§4例5知，二项分布可看成n个相互独立的且服从同一（0—1）分布的随机变量之和，即，则