§1　数学期望

随机变量是定义在样本空间上的函数，对应于不同的样本点，随机变量的值可能不同。有时，人们希望知道随机变量的大多数取值集中在哪里，能够粗略满足这一要求的是随机变量的平均值。例如，一射手进行打靶练习，规定射入区域e2（图3-1）得2分，射入区域e1得1分，脱靶，即射入区域e0，得0分。射手每次射击的得分数X是一个随机变量，设X的分布律为

P{X=k}=pk（k=0，1，2）

现在射击X次，其中得k分的有ak次（k=0，1，2），a0+a1+a2=N。他射击N次得分总和为a0×0+a1×1+a2×2。于是每次射击的平均得分数为

这个数值是表示得分数X的大多数取值的集中位置。这里的ak/N是事件{X=k}的频率，当N很大时，ak/N接近于事件{X=k}的概率pk，由此引出随机变量数学期望或均值的概念。

一、离散型随机变量的数学期望

定义1.1　设离散型随机变量X的分布律为

P{X=xk}=pk　（k=1，2，…）

若级数绝对收敛 ，则称级数的和为随机变量X的数学期望（expectation），也称为X的分布的数学期望，记为E（X），即

　　 （1.1） 　　

在不致引起误会时，可把E（X）简写成EX。

数学期望简称期望，又称为均值。

期望是随机变量取值的一个代表性位置，它表示随机变量的大多数取值都集中在期望周围。

下面推导几种重要随机变量的数学期望。

【例1】　设X～（0—1）分布，求EX。

解　X的分布律：P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1；0<p<1）

所以 　　

【例2】　设X～B（n，p），求E（X）。

解　由于（k=0，1，2，…，n）

所以 

【例3】　设X～P（λ），求E（X）。

　　解　

可见泊松分布的参数λ就是X的数学期望。 >

【例4】　设随机变量X服从参数为p的几何分布，求EX。

解　X的分布律：P{X=k}=p（1-p）k-1　（k=1，2，3，…）

所以 　

二、连续型随机变量的数学期望

定义1.2　设连续型随机变量X的密度函数为f（x），如果积分绝对收敛，则称其值为X的数学期望，记作E（X），即

　　 （1.2） 　　

【例5】　设X服从［a，b］上的均匀分布，求E（X）。

解　X的概率密度函数为

它恰是区间［a，b］的中点。

【例6】　设X～N（μ，σ2），求E（X）。

解　X的分布密度为

令，则得

可见，正态分布的参数μ就是相应随机变量X的数学期望。

【例7】　有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk（k=1，2，3，4，5）服从同一指数分布，其分布密度为

（1）若将这5个电子装置串联工作组成整机，求整机寿命N的数学期望；

（2）若将这5个电子装置并联工作组成整机，求整机寿命M的数学期望。

解　（1）为求整机寿命N的数学期望，应先求出其分布密度。为此，要求出N的分布函数。由于整机是串联的，那么

FN（z）=P{N≤z}=P{min{X1，X2，…，X5}≤z}

由第二章§4式（4.12）

　　 又 　　

所以 　　

（2）由于整机是并联时，整机M的寿命应为

M=max{X1，X2，X3，X4，X5}

　　　FM（z）=P{M≤z}=P{X1≤z，X2≤z，X3≤z，X4≤z，X5≤z}

　　　　　　=［P{X1≤z}］5（z>0）

由此可知

这就是说，5个电子装置并联联接工作的平均寿命是串联联接工作平均寿命的11.4倍。

【例8】　按规定，某车站每天8:00～9:00，9:00～10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立。其规律为

（1）一旅客8:00到车站，求他候车时间的数学期望；

（2）一旅客8:20到车站，求他候车时间的数学期望。

解　设旅客的候车时间为X（以分计）。

（1）X的分布律为

候车时间的数学期望为

（2）X的分布律为

在上表中，例如，设A为事件“第一班车在8:10到站”，设B为事件“第二班车在9:30到站”

则候车时间的数学期望为

需要指出的是，有的随机变量的数学期望就不存在，如以

为分布密度的随机变量X的数学期望就不存在，这是因为积分发散的缘故。

数学期望有一个力学解释：设质量为1的物质分布在Ox轴上，其线密度为f（x），由于

所以，数学期望E（X）表示质量中心的坐标，它是质量系统的集中位置。

三、随机变量函数的数学期望的计算公式

实际问题中也往往需要求随机变量的函数的数学期望。

定理1.1　设Y是随机变量X的函数：Y=g（X）（g是连续函数）。

（1）若X是离散型随机变量，它的分布律为pk=P{X=xk}（k=1，2，…），且绝对收敛，则有

　　 （1.3） 　　

（2）若X是连续型随机变量，它的分布密度为f（x），且绝对收敛，则有

　　 （1.4） 　　

定理的重要意义在于求E（Y）时，不必先求Y的分布而只需知道X的分布就可以了。定理的证明超出了本书的范围。

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g（X，Y）（g是连续函数），那么，Z也是一个随机变量。

（1）设（X，Y）为二维离散型随机变量，且P{X=xi，Y=yj}=pij（i，j=1，2，…），如果绝对收敛，则有

　　 （1.5） 　　

（2）设二维连续型随机变量（X，Y）的分布密度为f（x，y），如果

绝对收敛，则有

　　 （1.6） 　　

【例9】　设随机变量X的分布律为

求E（X），E（X2），E（3X-1）。

解　列出下表

显然　　　　　　E（X）=-1×0.2+0×0.7+3×0.1=0.1

　　　　　　E（X2）=1×0.2+0×0.7+9×0.1=1.1

　　　　　　E（3X-1）=-4×（0.2）+（-1）×0.7+8×0.1=-0.7

【例10】　设随机变量的分布密度为

求。

　　解　　　

【例11】　设（X，Y）的联合分布为

当Z=（X-Y）2时，求E（Z）。

解　先列出下表

【例12】　设（X，Y）的分布密度为

求E（X2+Y2）。

解　f（x，y）不等于0的区域为右图3-2划虚线的三角域，则

四、数学期望的性质

下面介绍数学期望的几个重要性质（以下都假设数学期望存在）。

（1）设C是常数，则有E（C）=C。

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有

E（CX）=CE（X）

（3）设X、Y是两个随机变量，则有

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有

E（XY）=E（X）E（Y）

性质（3）（4）可以推广到有限个相互独立的随机变量的情况。

证　仅对连续型随机变量情况，证明（3）和（4） ：设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为f（x，y），其边缘密度为fX（x），fY（y），由本节式（1.6）可知

又若X和Y相互独立，此时

f（x，y）=fX（x）fY（y）

则 　

【例13】　两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的数学期望。

解　设第一、二台无故障工作的时间分别为T1，T2，总的无故障工作时间为T，则T=T1+T2，且E（T）=E（T1+T2）=E（T1）+E（T2）。我们知道

则 　　

【例14】　一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E（X）（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。

解　这里随机变量X较复杂。引入随机变量

则有　　X=X1+X2+…+X10

按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为9/10，因此20位旅客都不在第i站下车的概率为，在第i站有人下车的概率为，也就是

所以 　　

则