第一节　空间汇交力系

各力的作用线汇交为一点，但不在同一平面的力系称为空间汇交力系。在讨论空间汇交力系之前先说明一下力在空间坐标轴上投影的概念。一般有两种方法：直接投影法和间接投影法。

一、力在空间直角坐标轴上的投影

1.直接投影法

若力F与x、y、z轴的正向夹角分别为α、β、γ为已知，如图3-1所示，则力F在三个轴上的投影就等于力F的大小乘以力F与各轴正向夹角的余弦，即：

　　 （3-1） 　　

这种方法称为直接投影法或一次投影法。

2.二次投影法

当力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。在图3-2中，已知F与z轴正向夹角γ和Fxy与x轴的夹角φ，则力F在三个坐标轴上的投影分别为：

　　 （3-2） 　　

我们把这种方法称为二次投影法。

若以Fx，Fy，Fz，表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图3-3所示，则：

F=Fx+Fy+Fz=Fxi+Fyj+Fzk　　（3-3）

如果已知力F在空间直角坐标系上的三个投影Fx，Fy，Fz，则力F的大小和方向余弦为：

　　 （3-4） 　　

　　 （3-5） 　　

【例3-1】　如图3-4所示，已知圆柱斜齿轮所受的啮合力Fn=1410N，齿轮压力角α=20°，螺旋角β=25°。试计算斜齿轮所受的径向力Fr、轴向力Fa和圆周力Ft。

解　取坐标系如图所示，使x、y、z分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向。先把啮合力Fn向z轴和坐标平面xOy投影，得：

Fz=-Fr=-Fnsinα

Fxy=Fncosα

采用二次投影法，把Fxy在x、y轴上投影：

Fx=Fa=-Fxysinβ=-Fncosαsinβ

Fy=Ft=-Fxycosβ=-Fncosαcosβ

解得Fr=-482N，Fa=-560N，Ft=-1201N

题中负值表示力的方向与坐标轴的方向相反。

二、空间汇交力系的合成与平衡条件

将平面汇交力系的合成法则扩展到空间汇交力系，可得结论：空间汇交力系可以合成一个合力，其合力等于各分力的矢量和，作用线通过汇交点，即：

　　 （3-6） 　　

由式（3-3）可得：

FR=∑Fx·i+∑Fy·j+∑Fz·k　　（3-7）

式中，∑Fx、∑Fy、∑Fz为合力FR沿x、y、z轴上的投影。合力的大小和方向余弦为：

　　 （3-8） 　　

　　 （3-9） 　　

式中，（FR，i）、（FR，j）、（FR，k）分别为FR与x、y、z轴的正向夹角。

由于空间汇交力系可以合成一个合力，因此，空间汇交力系平衡的必要且充分条件为该力系的合力等于零，即：

　　 （3-10） 　　

由式（3-8）可知，为使合力FR为零，必须同时满足：

∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0　　（3-11）

即空间汇交力系平衡的必要且充分条件是该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。式（3-10）称为空间汇交力系的平衡方程。

应用解析法求解空间汇交力系的平衡问题的步骤，与平面汇交力系问题相同，只不过需列出三个平衡方程，可求解三个未知量。

【例3-2】　有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由垂直于两墙的铰接二力杆OA、OB和钢绳OC组成。已知θ=30°，φ=60°，O点吊一重量G=1.2kN的重物［图3-5（a）］。试求两杆和钢绳所受的力。图中O、A、B、D四点都在同一水平面上，杆和绳的重量都忽略不计。

解　①选研究对象，画受力图。取铰链O为研究对象，设坐标系为Dxyz，受力如图3-5（b）所示。

②列平衡方程式，求未知量，即：

∑Fx=0，　FB-Fcosθsinφ=0

∑Fy=0，　FA-Fcosθcosφ=0

∑Fz=0，　Fsinθ-G=0

解上述方程得：

FA=Fcosθcosφ=2.4×cos30°cos60°=1.04kN

FB=Fcosθsinφ=2.4×cos30°sin60°=1.8kN