1.5　时间序列主要模型介绍

1.5.1　ARMA模型

ARMA模型的全称是自回归移动平均（Auto Regression Moving Average）模型，它是目前最常用的来拟合平稳时间序列的模型。ARMA模型又可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。

1.AR（p）（p 阶自回归模型）

其中，ut是白噪声序列；δ是常数（表示序列数据没有0均值化）。

2.MA（q）（q阶移动平均模型）

其中{ut}是白噪声过程；MA（q）是由ut本身和q 个ut的滞后项加权平均构造出来的，因此它是平稳的。

3.ARMA（p,q）（自回归移动平均过程）

其中的参数含义同AR、MA模型，ARMA模型相当于AR模型和MA模型的叠加。

1.5.2　ARIMA模型

ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model），是由博克思（Box）和詹金斯（Jenkins）于20世纪70年代初提出的著名时间序列预测方法，所以又称为Box-Jenkins模型、博克思—詹金斯法。ARIMA模型是ARMA模型的拓展，可以表示为ARIMA（p，d，q），其中AR是自回归，p为自回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数；d为时间序列成为平稳序列时所做的差分次数。所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归，所建立的模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳，以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA），以及ARIMA过程。

ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来大概描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以利用时间序列的过去值及现在值来预测未来值。

由于ARIMA模型是ARMA模型的拓展，ARIMA包含ARMA模型的三种形式，即AR、MA、ARMA模型，另外它还有一种经差分的ARMA模型形式，即：

对于d阶单整序列I(d)，令：

则wt是平稳序列。于是可对wt建立ARMA（p，q）模型，所得到的模型称为Xt～ARIMA（p，d，q）模型，故ARIMA（p，d，q）模型可以表示为：

1.5.3　ARCH模型

ARCH模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model）全称为“自回归条件异方差模型”，由罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提出。ARCH模型解决了时间序列的波动性（Volatility）问题，这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。目前该模型已被认为集中地反映了方差的变化特点，从而广泛地被应用于经济领域的时间序列分析。

ARCH模型的定义：若一个平稳随机变量Xt可以表示为AR（p）形式，其随机误差项的方差可用误差项平方的q阶分布滞后模型描述，即

则称ut服从q阶的ARCH过程，记作ut~ARCH（q）。其中（a）式称作均值方程，（b）式称作ARCH方程。

ARCH模型经常以回归的方式来描述，这也是常见的ARCH模型的另一种描述方式：

其中vt服从独立同分布；式（c）和上面第一种描述是等价的，但（c）式的操作性更强。

1.5.4　GARCH模型

GARCH模型称为广义ARCH模型，是ARCH模型的拓展，由Bollerslev（1986）提出。

GARCH（p，q）的模型可表示为：

GARCH模型实际上就是在ARCH模型的基础上，考虑了异方差函数的p阶自相关性而形成的，它可以有效拟合具有长期记忆的异方差函数。显然ARCH模型是GARCH模型的一个特例，ARCH（q）模型实际上就是p=0时的GARCH（p，q）模型。