二、论功守恒定理的历史
在近代科学中，给予能量守恒定律的地位是如此显著，以致我将尝试回答的关于它的正确性的问题仿佛自行突出它自己。我容许我本人在大字标题中把该定律称为功守恒定律，因为它在我看来好像是所有人都理解的、防止错误观念的名称。让我们回想伟大的法拉第（Faraday）关于“力守恒定律”的充满误解的考虑，以及众所周知的相当晦涩难懂的争论。人们之所以竟然说“力守恒定律”，只是因为当时人们与迈尔（J. R. Mayer）一起把欧拉（Euler）所谓 “effort”（辛勤努力）和彭赛列（Poncelet）所谓“travail”（艰苦劳动）的东西称为“力”（force）。当然，人们无法发现迈尔身上的过失，他没有从学术界获得他的概念，由于他使用他自己的特殊名称。
通常，功守恒定理以两种形式表达：
或者2．不可能从无创造功，或不可能建造永动机。
通常把这个定理视为力学世界观之花，是自然科学的最高级的、最普遍的定理，许多世纪的思想都通向它。
现在，我将尝试表明：
第一，这个定理在第二种形式中决不像人们倾向于相信的那样新颖；实际上，几乎所有著名的研究者都或多或少地混淆了它的观念；自斯蒂文（Stevinus）和伽利略（Galileo）时代以来，它将作为物理科学最重要的扩展的基础。
第二，这个定理决不与力学世界观一致或属于力学世界观，但是它的逻辑根源比力学世界观还要无比深邃地扎根于我们的思想。
首先，就我的主张的第一部分而论，必须从最初的源泉引出证据。现在，虽然拉格朗日（Lagrange）在他的《分析力学》注56各节驰名的历史导论中反复提到我们的定理的发展，但是人们立刻发现，如果人们不厌其烦地查阅原文本身，那么这个定理在它的阐述中并没有起它事实上所起的作用。
现在，除了定律之外，尽管下述事实与拉格朗日提到的事实相符，但是我们从全文给出的重要段落得到与在拉格朗日的著作中发现的观点不同的观点。
让我仅仅强调一些要点：
西蒙·斯蒂文在他1605年的名著《数学札记》（Hypomnemata mathematica）第四卷《论静力学》（De statica）注57中，处理了物体在斜面上的平衡。
图1
在一边AC是水平的三棱柱ABC上，悬挂着环形的绳或链，把相同重量的14个球以相等的距离连接到绳或链上，如图1中的截面图所示。既然我们能够设想把绳ABC下面对称的部分去除，斯蒂文得出结论，在AB上的4个球与BC上的2个球保持平衡。如果平衡被扰乱片刻，那么它将永不存在；绳将按同一方向永远保持环形运动——我们就会拥有永恒运动。他说：
但是，如果发生这种情况，那么我们的球排或球环就会再次进入它们的原初位置；并且出于相同原因，左边的8个球再次重于右边的6个球，因此那8个球会第二次下沉，这6个球会第二次上升，于是所有的球能够自动地保持持续的和无休止的运动，但这是虚假的。注58
现在，斯蒂文很容易从这个原理得出斜面上的平衡定律和许多其他富有成效的结论。
在同一本著作第114页的“流体静力学”一章中，斯蒂文提出了以下原理：“Aquam datam, datum sibi intra aquam locum servare”——水的特定质量在水里保持它的特定位置。这个原理是如下论证的（参见图2）：
图2
由于用自然手段呈现它是可能的，让我们假定A没有保持在指定给它的位置，而是向下沉到D。这样安放时，出于同样的原因，接续A的水也将向下流向D；A将被迫离开它在D的位置；于是，这个水体由于它里面的状况处处相同，将引起荒谬的永恒运动。注59
所有流体静力学原理都可以由此推导出来。在这个场合，斯蒂文也是首次详尽阐述对于近代分析力学而言如此富有成效的思想，即添加刚性的关联未破坏一个系统的平衡。正如我们所知，引力中心守恒原理现在有时借助那个评论从达朗伯原理推导。今天，如果我们重演斯蒂文的论证，我们应该将它稍做一点改变。我们发现，可以毫无困难地设想，假如以为去掉所有障碍，棱柱上的绳子保持不断的匀速运动；但是，如果消除了阻力，我们就应当反对加速运动，甚至匀速运动的假定。而且，为了获得更精确的证据，球的细绳应该换成具有无限柔韧性的、沉重的、均匀的绳子。但是，所有这一切丝毫不影响斯蒂文思想的历史价值。事实是，斯蒂文从永恒运动不可能原理清楚地推论出更加简明的真理。
16世纪末，在把伽利略引向他的发现的思想进程中，下述原理发挥了重要作用，即物体借助它在下落时获得的速度，能够上升到与它下落正好一样的高度。这个原理简直就是排斥永恒运动原理的另一种形式，它反复而且异常清晰地出现在伽利略思想中，正如我们将要看到的，它也在惠更斯（Huygens）的思想中。
正如我们所知，伽利略在首先假定他不得不否决的不同定律之后，通过先验考虑得出匀加速运动定律，正如那个是“最简单的和最自然的”定律一样。为了证实他的定律，伽利略用斜面上下降的物体做实验，通过从大容器的小孔流出的水的质量测量下降的时间。在这个实验中，作为一个基本原理，他假定，在沿斜面下降中获得的速度总是与下降通过的垂直高度相称；在他看来，这个结论是下述事实的直接结果：沿斜面下降的物体，只能以它获得的速度、在任何斜度的另一平面上上升到相同的垂直高度。情况似乎是，这个上升高度原理也导致他达到惯性定律。让我们听听在“第三天对话”（Opere, Padova,1744,Tom.Ⅲ）中他自己的巧言妙语。在第96页我们读到：
如果不同斜度的平面的高度相等，我认为理所当然的是，沿着这些斜面下降的物体获得的速度是相同的。注60
然后，他让萨尔维阿蒂在对话中说：注61
你们所说的似乎是非常可能的，但是我希望进一步通过实验增大它的可能性，使它几乎相当于绝对的证明。假定这张纸是一堵垂直的墙，在钉进墙的钉子上用一根长四五英尺的非常细的线AB悬挂一个重两三盎司的铅球（图3）。在墙上画垂直于垂线AB的水平线DC，垂线AB应当挂在距墙约两英寸的地方。现在，如果拴着球的线AB占用AC的位置，然后松开球，你们将看到球首先向下通过弧CB，然后越过B点，通过弧BD几乎上升到线CD的水平，空气和线的阻力妨碍它精确达到该水平。由此我们可以确实地断定，它下降划过弧CB获得的、在B点的冲力，足以推它通过类同的弧BD而到达相同的高度。做这个实验并且重复几次之后，让我们在墙上朝垂线AB的射影，比方说在E或F，钉一个五六英寸长的钉子，于是线AC像以前一样带着球划过弧CB，在它到位置AB时将碰到钉子E，球将因此被迫沿着以E为中心划出的弧BG向上运动。接着，我们会看到，此刻与之前在同一点B获得的相同的冲力在这里做什么事情，它接着驱动同一运动物体通过弧BD到达水平线CD的高度。这样一来，先生们，你们会高兴地看到，球在点G上升到水平线；而且，如果把钉子钉得较低一些，比如在F，也会发生相同的事情：在这种情况下，球会划出弧BJ，总是将它的上升精确地终止在线CD。如果把钉子钉得低到它下面线的长度够不到CD的高度（要是F更靠近B点而不是AB与水平线CD的交点，将会发生这种情况），那么线会围着钉子自我卷绕。对于该假定的真理性，这个实验没有留下怀疑的余地。由于两个弧CB、DB相等并且处境相似，在弧CB下降中获得的动量与在弧DB下降中获得的动量相同；但是，通过弧CB下落、在B点上所获得的动量，可以驱使相同的运动物体向上通过弧BD；因此，在下降DB中获得的动量也等于驱动相同的运动物体通过从B到D同一弧的动量，以至于一般说来，在弧下降中所获得的每个动量，等于促使相同运动的物体通过相同的弧上升获得的动量；但是，促使所有弧BD、BG、BJ上升的全部动量都是相等的，因为它们都是在下降CB获取的同一个动量造成的，正如实验显示的那样：因此在弧DB、GB、JB下降中获得的全部动量都是相等的。
图3
可以把这段与钟摆相关的议论应用到斜面中，并导致惯性定律。我们在第124页注62读到：
现在很明白，在A从静止开始并沿斜面AB下降的可运动的物体，获取的速度与它的时间的增量成比例：在B拥有的速度是所获取的速度中最大的；而且，倘若消除新的加速或减速——我说加速是考虑它沿着延伸的平面进一步行进的可能，减速是考虑使它倒退并爬升平面BC的可能性——的所有原因，它将按其本性被永远不变地传送。但是，在水平面GH上，它的平稳运动按照它从A下降到B获得的速度，将会无限地持续下去。（图4）
图4
继承了伽利略衣钵注63的惠更斯，形成更加鲜明的惯性定律的概念，并推广在伽利略手中富有成效的关于上升高度的原理。他在解决振荡中心问题时运用伽利略的原理，而且极其清楚地陈述道，关于上升高度的原理与排斥永恒运动原理是等价的。
接着，出现以下重要的段落（Hugenii, Horologium oscillatorium, pars secunda）（惠更斯，《时钟振荡》第二部分）。假设：
假如不存在引力，大气也不阻碍物体运动，那么物体将以平稳的速度在直线上永远保持曾经施加给它的运动。注64[参见注释1]
在《时钟振荡中心》（Horologium de centro oscillationis）的第四部分，我们读到：
如果任何数目的重物由于引力开始运动，重物共同的引力中心总体上不可能上升得比它开始运动时占据的位置更高。
鉴于我们的这个假设不可能引起顾虑，我们将申明，它仅仅意味着，从来也没人否定重物不向上运动。确实，如果做这样的无谓尝试以建造永恒运动的新机器的设计者熟悉这个原理，那么他们能够很容易让自己发现错误，并理解这种事情用力学手段是绝对不可能完成的。注65
这里可能有耶稣会的心理存留，它们包含在“力学手段”这个词语中。由该词语可能导致人们相信，惠更斯认为非力学的永恒运动是可能的。
在同一章的命题Ⅳ中，甚至更加清晰地提出了对伽利略原理的概括：
如果由几个重物组成的摆从静止开始运动，完成它的完全振荡的任何一部分，并且从那一点向前，单个重物随着它们共同关联被解除而改变它们获得的向上速度，尽其所能升高，那么所有重物共同的引力中心将被运送的高度与它在振荡开始前占据的高度相同。注66
最后的这个原理是把伽利略关于单个质量的观念应用到质量系统（参见注释2）的概括，我们从惠更斯的说明辨认出它排斥永恒运动原理；惠更斯此时正是基于它建立他的振荡中心理论的。拉格朗日表示，这个原理的特征是根据不足；而让他感到欣喜的是，詹姆斯·伯努利（James Bernoulli）在1681年成功地尝试把振荡中心理论还原为在他看来更清楚的杠杆定律。17世纪和18世纪的所有伟大的探究者就这个问题展开交锋，它最终与虚速度原理共同导致达朗伯1743年在他的《动力学论文》中阐明的原理，尽管以前欧拉和赫尔曼以略微不同的形式使用过这一原理。
进而，关于上升高度的惠更斯原理成为“活力守恒定律”的基础，这个定律由约翰·伯努利和达尼埃尔·伯努利（Daniel Bernoulli）阐明，并且被后者那样非凡地运用在他的《流体动力学》中。伯努利定理和拉格朗日在《分析力学》中的表达只是在形式上不同。
托里拆利（Torricelli）取得他的著名的液体射流定律的方式，再次得出我们的原理。托里拆利设想，从容器底部孔口流出的液体，不会由于它的射流的速度而上升到比它在容器里的水平更高的高度。
接下来，让我们考虑属于纯粹力学的一个要点，即虚运动或虚速度原理的历史。像通常所述的那样，并且拉格朗日也如此断言，这个原理并不是由伽利略首次阐述，而是更早一些由斯蒂文阐明的。在上面引用的他的著作《绞盘静力学》第72页，他说：
观察到这个静力学公理在此处有效：
由于作用物体的空间等同于被作用物体的空间，因此被作用物体的动力等同于作用物体的动力。注67
我们知道，伽利略在对简单机械的思考中认识到这个原理的真理，也从它推导出液体平衡定律。
托里拆利使该原理返回到引力中心的性质。在动力和负载由重物表示的简单机械中，控制平衡的条件就是重物共同的引力中心不降低。反过来，如果引力中心不能降低，即可得到平衡，因为沉重的物体不会自动向上运动。在这种形式下，虚速度原理等价于惠更斯的永恒运动不可能性原理。
1717年，约翰·伯努利（John Bernoulli）首次察觉虚位移原理对所有系统的普遍含义，他在给瓦里尼翁（Varignon）的信中陈述了这一发现。最后，拉格朗日对这个原理给出一般的证明，并把他的整个《分析力学》奠基于其上。不过，这个一般证明毕竟是以惠更斯和托里拆利的评论为基础的。如同我们了解的那样，拉格朗日设想在整个系统的力的方向安置简单的滑轮，让绳子穿过这些滑轮，并且在它松开的末端悬挂一个重物，这个重物是该系统的所有力的共同量度。现在，可以毫无困难地选择每个滑轮组件的数目，以便将用它们代替所述的力。于是很清楚，如果末端的重物不能下沉，就可维持平衡，因为重物不会自动地向上运动。如果我们没有走得那么远，而是希望信守托里拆利的观念，我们也许会设想，一个特殊重物代替该系统的每一个单个力，这个重物在力的方向悬挂在穿过滑轮的绳子上，并且连接在它的实施之处。于是，当所有重物共同引力中心不能一起下降时，即可维持平衡。显然，这个论证的基本假定是永恒运动的不可能性。
拉格朗日千方百计地提供没有非相关要素的和充分满意的证明，可是没有完全成功。他的后继者并非更加幸运。
就这样，整个力学建立在一种观念的基础上，该观念虽然不含糊，但却是非惯常的，而且与其他力学原理和公理不对等。每位力学学生在他进展的某一阶段，都对这种事态感到不自在；每一个人都希望消除它；可是，却难得用语言陈述这个困难。因此，当热情的科学学生在像普安索（Poinsot）这样的大师的著作（《系统平衡和位移的一般理论》）中读到下述段落时，他极其欢欣鼓舞；这位作者在其中正在提出他对《分析力学》的看法：
其间，考虑到那部著作对力学的漂亮的展开，即力学似乎从单个公式完美地涌现，我们的注意力首次被完全吸引住了，为此我们自然相信，科学被完成了，或者它仅仅留下寻求虚速度原理的证明。然而，这一探索又使我们借助原理本身克服的困难卷土重来。经过审查，那个如此普遍的定律反而变得晦涩费解，由于其中混合了模糊而陌生的无限小位移和平衡微扰观念；而且，鉴于拉格朗日的工作也没有提供比分析进展更清晰的东西，我们清楚地看到，阴云好像只是从力学的进程中升起，因为可以这么说，阴云恰恰聚集在那门科学的源头。
本质上，虚速度原理的一般证明等价于把整个力学建立在不同的基础上：因为对包括整个科学的定律的证明与把那门科学还原为另一个定律毫无二致；但是，该定律与第一个定律相比，恰好一样普遍，但却清楚明白，或者至少比较简单，从而它使第一个定律变得毫无用处。注68
因此，按照普安索的观点，虚位移原理的证明相当于力学的全部更新。
对于数学家而言，另一个令人不安的情况是，在力学目前以其存在的历史形式中，把动力学建立在静力学的基础上，而值得向往的是，在自称演绎完备的科学中，比较特殊的静力学定理能够从更普遍的动力学原理中演绎出来。
事实上，伟大的大师高斯（Gauss）在他对最小约束原理的描述（Crelle’s Journal für reine und angewandte Mathematik（《纯粹数学和应用数学杂志》），Vol IV, p. 233.）中，用下述话语表达了这个愿望：“按照实际情况来说，恰当的做法是，在科学的逐渐发展中，在对个人的教育中，容易的应该位于困难的之前，简单的应该位于复杂的之前，特殊的应该位于普遍的之前；可是，当心智一旦得出更高级的观点时，它就需要相反的过程，在这个过程中全部静力学看起来仅仅是力学的一个特例。”现在，高斯自己的原理拥有普遍性的一切必要条件，但是它的困难在于，它不是直接可理解的，而且高斯是借助达朗伯的原理推导它的，这是一个把问题留在它们以前所在之处的步骤。
那么，虚运动原理在力学中发挥的奇异作用源自何处呢？目前，我只能做出这样的回答。当我首次作为学生接受它时，当我做过历史研究后继续采纳它时，在我看来很难讲述，拉格朗日关于该原理的证明对我造成的印象有何差异。依我之见，它首先显得枯燥乏味，主要是由于不适合数学观点的滑轮和绳子；而且，我更愿意从该原理本身发现它的作用，而不是把它看做理所当然的。刚才，我研究了科学史，我无法想象一种更加出色的证明。
事实上，正是这同一个排斥永恒运动原理遍及整个力学，几乎完成一切，这令拉格朗日不悦，然而他仍然不得不使用它，至少心照不宣地在他自己的证明中使用它。如果我们给出这个原理适当的地位和背景，那么悖论很容易解释。
让我们考虑物理学的另一个部门即热学理论。
S.卡诺（S. Carnot）在他的《关于火机车动力的思考》（Réflexxions sur la puissance motrice du feu）注69建立了下述定理：无论何时借助热做功，热的某一量从较热的物体转移到较冷的物体（假定在作用物体的状态中的永久改变不发生）。热的传递对应于功的完成。反过来，利用所得到的相同量的功，人们能够再次使热从较冷的物体传递到较热的物体。现在，卡诺发现，就做一定的功而言，从温度t流到温度t1的热量不能够取决于上述物体的化学性质，而仅仅依赖于这些温度。要不是这样的话，便能够想象不断地从无产生功的物体的组合。于是，在这里，重要的发现建立在排斥永恒运动的原理之上。毫无疑问，这是该定理的第一个超力学的应用。
卡诺认为，热量是不变的。现在，克劳修斯（Clausius）发现，伴随功的完成，热不仅仅从t流到t1，它的一部分失去了，这部分总是与所做的功成比例。通过继续应用排斥永恒运动原理，他找到
把特殊的权重放在热随做功而消失和热随机械功消耗而形成上——这个过程通过J. R.迈尔、亥姆霍兹（Helmholtz）和W.汤姆孙（W.Thomson）的考虑以及拉姆福德（Rumford）、焦耳（Joule）、法夫尔（Favre）、希尔伯曼（Silbermann）和许多其他人的实验得以确认。由此得出结论，如果热能够转变为机械功，那么热就在于机械过程——在于运动。作为一个结果，这个像野火一样传播到整个有教养的世界的结论具有大批关于这个课题的文献，现在人们处处热切地专注于借助运动说明热；他们确定分子的速度、平均距离和路程，人们说，几乎不存在一个不能借助足够冗长的计算和不同的假设用这一方式完备解决的问题。无须惊奇，在这一切喧嚷声中，一种最显著的声音，即热的力学理论的伟大奠基者J. R.迈尔的声音却未被听到：
正如我们从下落的趋势和运动的关联中不能得出这种趋势的本质是运动一样，我们也不能如此得出这个结论对于热也成立。宁可说，我们可以得出相反的结论：为了变成热，运动——不管是像光或辐射热那样的简单运动还是振动——必须不再是运动。注70
我们以后将看到，热随着做功消失的原因是什么。
排斥永恒运动定理的第二个超力学的应用，是诺伊曼（Neumann）针对电感应定律的分析基础完成的。这也许是这种类型的最有才能的工作。
最后，亥姆霍兹注71尝试把功守恒定律贯彻到整个物理学，并从这个出发点向前，这个定律对于科学范围的应用不可胜数。
亥姆霍兹以两种方式贯彻该原理。他说过，我们能够从这个基本定理提出功不能从无创生，从而能够把物理现象关联起来；或者，我们能够认为物理过程是仅仅由中心力，从而由具有势的力产生的分子过程。关于后一过程，力学的功守恒定律在拉格朗日的形式中当然有效。
至于第一个思想，我们必须认为，它作为卡诺、迈尔和诺伊曼在力学之外应用该原理的尝试的概括，是一个重要的思想。只是我们必须同亥姆霍兹赞同的观点作斗争，即该原理起初是通过力学的发展而逐渐被接受的。事实上，它比整个力学还要古老。
现在，这种观点似乎是引起第二种处理方式的主导动机，正像我希望表明的，许多人能够被驱策反对它。
无论如何，情况可能是，物理现象能够还原为分子的运动和平衡过程的观点如此普遍地传播开来，以至于现在本人只能听任人们体验，本人正在小心谨慎地、冒着激起下述看法的风险反对它：这种看法不是最新的，没有把握现代文化的趋势。
为了说明这一点，我将引用冯特（Wundt）注721866年关于物理公理的小册子中的一段，因为冯特是现代自然科学趋势的代表，他的思维方式恐怕是大多数自然科学研究者的思维方式。冯特提出下述公理：
1．自然界中的所有原因都是运动的原因。
2．每一个运动的原因处于运动物体的外部。
3．所有运动的原因在联结的直线方向起作用，等等。
4．每一个原因的结果持续下去。
5．相等的反结果对应于每一个结果。
6．每一个结果等价于它的原因。
于是，毫无疑问，在这里把所有现象都看做是力学事件之和。而且，就我所知，没有引起对冯特观点的反对。现在，就冯特的工作与力学有关而言，尤其是就什么涉及公理的推论而言，不管它可能多么有价值，不管它在前者中与我多年持有的思想多么一致，我只能认为他的定理是力学的定理，而不是物理学的定理。我以后将返回这个问题。
这样一来，我们在这个诸多世纪的历史概述中看到，我们的功守恒原理作为研究工具起了巨大的作用。第二个排斥永恒运动定理总是导致力学真理的发现，后来总是导致其他物理学真理的发现，也能够认为它是第一个定理的历史基础。另一方面，把整个物理学视为力学、使第一个定理成为第二个定理的基础或把第一个定理延伸到第二个定理的尝试，不容许被误解。现在，这个循环是要不得的，并激起人们的猜疑。它急迫地要求研究。
首先，很清楚，排斥永恒运动原理不能建立在力学的基础上，由于在力学大厦矗立之前好久就感觉到它的正确性。该原理必定具有另外的基础。在比较仔细地考虑物理学的力学概念（mechanical conception of physics）时，如果我们发现，后者遭受怀疑的预期和片面性的话，而两种指责中的无论哪一个都不能提出反对我们的原理，那么这个观点现在便受到支持。于是，我们首先将审查力学自然观（the mechanical view of nature），以便证明所说的原理是独立于它的。