3　函　数

有一些特殊的二元关系R，如果xRy成立，则x至多只与一个y具有R。比如一个人与他的母亲，自然数x与x²，都是这样的关系。由此我们可以定义函数概念。

3.1　定义　令A和B为非空集合。从A到B的二元关系R称为从A到B的一个函数，当且仅当

（1）对任意的x∈A，都有y∈B，使得xRy；

（2）如果存在y，z∈B，使得xRy并且xRz，则y＝z。

因此，一个从A到B的二元关系R只在两种情况下不是A到B的函数：一是A中有某个元素不与B中的任何元素具有R，如一个人与他的配偶的关系，不是人的集合到自身的函数（有人无配偶）；二是A中某个元素跟B中多于一个的元素具有R，如一个人与他的国籍的关系，不是人的集合到每个人的国籍的集合的函数（有人有多重国籍）。

我们以后用f，g，h等表示函数。A到B的函数f经常表示为：

f: A→B。

设f是从A到B的函数，a是A中的元素，则f把a与B中的一个元素对应起来，或者说，f把a映射到B中一个元素上。B中这个元素，称为f在a处的函数值，记作f（a）。比如，令f＝｛〈x，y〉｜y是x的母亲｝是人的集合到自身的函数，则f（孟子）＝孟母。再如，考虑自然数集合到自身的函数f＝｛〈x，y〉｜y＝x²｝，我们有f（1）＝1，f（3）＝9等等。这个函数，习惯上写为f（x）＝x²。一般而言，我们经常把〈x，y〉∈f写为f（x）＝y。

从A到B的函数f，定义在A上，A称为f的定义域；而f在A上的函数值都在B中，称这些函数值的集合为f的值域。准确些讲，f的值域是B的一个子集，它等于｛y｜存在x∈A，使得f（x）＝y｝或｛f（x）｜x∈A｝。

如果f的定义域是笛卡尔集A₁×A₂×…×A_n（n≥1），则称f为一个n元函数。n元函数把其定义域中的有序n元组映射到其值域的元素上。

例如，从N²到N的加法函数＋，是一个二元函数，其定义域是N²，值域是N。如果考虑正整数集Z中的加法函数，则其定义域是Z²，值域是Z－｛1｝。＋在〈1．2〉处的函数值＋（〈1，2〉）＝3。这可以简写为：＋（1，2）＝3（习惯上写为1＋2＝3）。一般而言，若f是一个n元函数，则f（〈x₁，…，x_n〉）就记为f（x₁，…，x_n）。

从Aⁿ到A的函数，称为A中的n元函数，或A中的n元运算。

设f是从A到B的函数，如果还有一个从B到C的函数g，则我们可以定义g和f的复合函数gf，它是从A到C的函数，使得对任意x∈A，gf（x）＝g（f（x））。比如，令A＝B＝C＝N，N到自身的函数f（x）＝2x，g（x）＝x²，则gf（x）＝（2x）²。又如，使一个人对应于他的母亲的函数自身复合后，就成为使一个人对应于他的外祖母的函数。

一般而言，一个从A到B的函数，其值域不必恰好是B，而且，它经常是一种“多一关系”，即它的定义域中有多个元素映射到值域里的同一个元素上。可是，也有些函数是较为“齐整的”。

3.2　定义　设f: A→B。

（1）如果f的值域等于B，即任给y∈B，都有x∈A，使得f（x）＝y，则称f为A到B上的满射。

（2）如果对任意的x，y∈A，若f（x）＝f（y）则x＝y，即f的定义域中不同的元素对应于值域中不同的元素，则称f为A到B中的单射，或一一映射。

（3）如果f既是满射又是单射，则称f为A到B的双射，或一一对应。

例如，人的集合到自身的函数f＝｛〈x，y〉｜y是x的母亲｝，不是满射（有人不是任何人的母亲），也不是单射（有的人是多人的母亲）。自然数集合N到自身的函数f（x）＝x²是一一映射，但不是满的，它的值域是｛0，1，4，9，…｝，这是N的真子集。但是，我们如果把这个f的后域限制一下，不叫它等于N，而叫它等于f的值域｛0，1，4，9，…｝，则f就变成了N到｛0，1，4，9，…｝的双射。

3.3　习题　证明：

1）任何单射是从其定义域到其值域的双射。

2）若f和g都是单射，且f的值域包含在g的定义域中，则gf也是单射。

一个A到B的双射f，建立了A和B的元素之间一对一的关系。这个关系，如果反过来考虑，则构成了B到A的双射。这就是说，有一个函数g，定义在B上，对任意的y∈B，g（y）＝A中唯一的那个x，使得f（x）＝y。这样的g，称为f的反函数，记为f^-1。

3.4　习题　证明：这个f^-1是满射、单射。

根据习题3.3-1，任何单射都有从其值域到其定义域的反函数。